Question

（本題滿分13分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.

⑴ 求證：△AMB≌△ENB；
⑵ ①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最小；
②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說(shuō)明理由；
⑶ 當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

Answer 1

（1）△AMB≌△ENB，證明略。
（2）
①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM＋CM的值最小.
②連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，
AM＋BM＋CM的值最小，圖略
（3）解析:
（滿分13分）解：⑴∵△ABE是等邊三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵M(jìn)B＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分
⑵①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM＋CM的值最小.………………7分
②如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，

AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分
理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等邊三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ………………10分
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).……11分
⑶過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，
∵EF²＋FC²＝EC²，
∴（）²＋（x＋x）²＝. ………………12分
解得，x＝（舍去負(fù)值）.
∴正方形的邊長(zhǎng)為.………………13分