Question

（本題滿分13分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.

⑴ 求證：△AMB≌△ENB；

⑵ ①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最��；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；

⑶ 當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）△AMB≌△ENB，證明略。

（2）

①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM＋CM的值最小.

②連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，

AM＋BM＋CM的值最小，圖略

（3）

【解析】（滿分13分）解：⑴∵△ABE是等邊三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.

即∠BMA＝∠NBE.

又∵M(jìn)B＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分

⑵①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM＋CM的值最小. ………………7分

②如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，

AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分

理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等邊三角形.

∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ………………10分

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).……11分

⑶過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，

∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF＝x，EF＝.

在Rt△EFC中，

∵EF²＋FC²＝EC²，

∴（）²＋（x＋x）²＝. ………………12分

解得，x＝（舍去負(fù)值）.

∴正方形的邊長(zhǎng)為. ………………13分