Question

已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（-2，0），點B坐標(biāo)為 （0，2 ），點E為線段AB上的動點（點E不與點A，B重合），以E為頂點作∠OET=45°，射線ET交線段OB于點F，C為y軸正半軸上一點，且OC=AB，拋物線y=-

2

x²+mx+n的圖象經(jīng)過A，C兩點．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求證：∠BEF=∠AOE；
（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標(biāo)；
溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點A、B的坐標(biāo)求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出點C的坐標(biāo)，再把點A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）先求出∠BAO=∠ABO=45°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，再根據(jù)∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，從而得證；
（3）分①當(dāng)OE=OF時，根據(jù)等邊對等角可得∠OFE=∠OEF=45°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠EOF=90°，從而得到點E與點A重合，不符合題意；②當(dāng)FE=FO時，根據(jù)等邊對等角可得∠EOF=∠OEF=45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠EFO=90°，然后根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行求出EF∥AO，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠BEF=∠BAO=45°，然后求出EF=BF=OF=

1

2

OB，再寫出點E的坐標(biāo)即可；③當(dāng)EO=EF時，過點E作EH⊥y軸于點H，利用“角角邊”證明△AOE和△BEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=AO=2，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BH=EH=

2

2

BE，再求出OH，然后寫出點E的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵A （-2，0）B （0，2），
∴OA=OB=2，
∴AB=

OA2+OB2

=

22+22

=2

2

，
∵OC=AB，
∴OC=2

2

，
∴C（0，2

2

），
又∵拋物線y=-

2

x²+mx+n的圖象經(jīng)過A、C兩點，
∴

-4 2 -2m+n=0 n=2 2

，
解得，

m=- 2 n=2 2

，
所以，拋物線的表達(dá)式為y=-

2

x²-

2

x+2

2

；

（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，
∴∠BEF=∠AOE；

（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時，分三種情況討論：
①當(dāng)OE=OF時，∠OFE=∠OEF=45°，
在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°，
又∵∠AOB=90°，
則此時點E與點A重合，不符合題意，此種情況不成立；

②如圖2，當(dāng)FE=FO時，∠EOF=∠OEF=45°，
在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°，
∴EF∥AO，
∴∠BEF=∠BAO=45°，
又∵∠ABO=45°，
∴∠BEF=∠ABO，
∴BF=EF，
∴EF=BF=OF=

1

2

OB=

1

2

×2=1，
∴E（-1，1）；
③如圖3，當(dāng)EO=EF時，過點E作EH⊥y軸于點H，
在△AOE和△BEF中，

∠EAO=∠FBE ∠AOE=∠BEF OE=OF

，
∴△AOE≌△BEF（AAS），
∴BE=AO=2，
∵EH⊥OB，∠BAO=45°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴BH=EH=

2

2

BE=

2

2

×2=

2

，
∴OH=OB-BH=2-

2

，
∴E（-

2

，2-

2

），
綜上所述，當(dāng)△EOF為等腰三角形時，所求E點坐標(biāo)為E（-1，1）或E（-

2

，2-

2

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點在于（3）要分情況討論．