【題目】如圖,拋物線y= (x﹣3)2﹣1與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.
(1)求點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo);
(2)連接CD,過原點(diǎn)O作OE⊥CD,垂足為H,OE與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,連接AE,AD,求證:∠AEO=∠ADC;
(3)以(2)中的點(diǎn)E為圓心,1為半徑畫圓,在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作⊙E的切線,切點(diǎn)為Q,當(dāng)PQ的長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo),并直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,﹣1).
令y=0,得 (x﹣3)2﹣1=0,
解得:x1=3+ ,x2=3﹣ ,
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),
∴A(3﹣ ,0),B(3+ ,0)
(2)
方法一:
證明:如答圖1,過頂點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G,則G(0,﹣1),GD=3.
令x=0,得y= ,
∴C(0, ).
∴CG=OC+OG= +1= ,
∴tan∠DCG= .
設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M,則OM=3,DM=1,AM=3﹣(3﹣ )= .
由OE⊥CD,易知∠EOM=∠DCG.
∴tan∠EOM=tan∠DCG= = ,
解得EM=2,
∴DE=EM+DM=3.
在Rt△AEM中,AM= ,EM=2,由勾股定理得:AE= ;
在Rt△ADM中,AM= ,DM=1,由勾股定理得:AD= .
∵AE2+AD2=6+3=9=DE2,
∴△ADE為直角三角形,∠EAD=90°.
設(shè)AE交CD于點(diǎn)F,
∵∠AEO+∠EFH=90°,∠ADC+AFD=90°,∠EFH=∠AFD(對(duì)頂角相等),
∴∠AEO=∠ADC
方法二:
∵C(0, ),D(3,﹣1),
∴KCD= ,
∵OE⊥CD,∴KCD×KOE=﹣1,
∴KOE= ,
∴l(xiāng)OE:y= x,把x=3代入,得y=2,
∴E(3,2),
∵A(3﹣ ,0),D(3,﹣1),
∴KEA= = ,
∵KAD= ,
∴KEA×KAD=﹣1,
∴EA⊥AD,∠EHD=∠EAD,
∵∠EFH=∠AFD,
∴∠AEO=∠ADC
(3)
方法一:
解:依題意畫出圖形,如答圖2所示:
由⊙E的半徑為1,根據(jù)切線性質(zhì)及勾股定理,得PQ2=EP2﹣1,
要使切線長(zhǎng)PQ最小,只需EP長(zhǎng)最小,即EP2最小.
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),由勾股定理得:EP2=(x﹣3)2+(y﹣2)2.
∵y= (x﹣3)2﹣1,
∴(x﹣3)2=2y+2.
∴EP2=2y+2+(y﹣2)2=(y﹣1)2+5
當(dāng)y=1時(shí),EP2有最小值,最小值為5.
將y=1代入y= (x﹣3)2﹣1,得 (x﹣3)2﹣1=1,
解得:x1=1,x2=5.
又∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上,
∴x1=1舍去.
∴P(5,1).
∵△EQ2P為直角三角形,
∴過點(diǎn)Q2作x軸的平行線,再分別過點(diǎn)E,P向其作垂線,垂足分別為M點(diǎn)和N點(diǎn).
由切割線定理得到Q2P=Q1P=2,EQ2=1
設(shè)點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(m,n)
則在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程,即(m﹣3)2+(n﹣2)2=1①,(5﹣m)2+(n﹣1)2=4②
①﹣②得n=2m﹣5③
將③代入到①得到
m1=3(舍,為Q1)
m2=
再將m= 代入③得n= ,
∴Q2( , )
此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(3,1)或( , )
方法二:由⊙E的半徑為1,得PQ2=EP2﹣1,要使切線長(zhǎng)PQ最小,只需EP長(zhǎng)最小,即EP2最小,
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),EP2=(x﹣3)2+(y﹣2)2,
∵y= (x﹣3)2﹣1,∴(x﹣3)2=2y+2,
∴EP2=2y+2+(y﹣2)2=(y﹣1)2+5,
∴當(dāng)y=1時(shí),EP2有最小值,將y=1代入y= (x﹣3)2﹣1得:x1=1,x2=5,
又∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上,
∴x1=1舍去,∴P(5,1),
顯然Q1(3,1),
∵Q1Q2被EP垂直平分,垂足為H,
∴KQ1Q2×KEP=﹣1,
∴KEP= =﹣ ,KQ1Q2=2,
∵Q1(3,1),
∴l(xiāng)Q1Q2:y=2x﹣5,
∵lEP:y=﹣ x+ ,
∴x= ,y= ,
∴H( , ),
∵H為Q1Q2的中點(diǎn),
∴Hx= ,
HY= ,
∴Q2(x)=2× ﹣3= ,
Q2(Y)=2× ﹣1= ,
∴Q2( , ).
【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì),求出點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo);(2)如何證明∠AEO=∠ADC?如答圖1所示,我們觀察到在△EFH與△ADF中:∠EHF=90°,有一對(duì)對(duì)頂角相等;因此只需證明∠EAD=90°即可,即△ADE為直角三角形,由此我們聯(lián)想到勾股定理的逆定理.分別求出△ADE三邊的長(zhǎng)度,再利用勾股定理的逆定理證明它是直角三角形,由此問題解決;(3)依題意畫出圖形,如答圖2所示.由⊙E的半徑為1,根據(jù)切線性質(zhì)及勾股定理,得PQ2=EP2﹣1,要使切線長(zhǎng)PQ最小,只需EP長(zhǎng)最小,即EP2最。枚魏瘮(shù)性質(zhì)求出EP2最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo),并進(jìn)而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn),以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解七年級(jí)男生體操測(cè)試情況,隨機(jī)抽取了50名男生的測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn),將他們的成績(jī)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí),并繪制成頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖(如圖).
等級(jí) | 成績(jī)x/分 | 頻數(shù)/(人數(shù)) | 頻率 |
A | 9.0≤x≤10.0 | a | m |
B | 7.0≤x<9.0 | 23 | 0.46 |
C | 6.0≤x<7.0 | b | n |
D | 0.0≤x<6.0 | 3 | 0.06 |
合計(jì) | 50 | 1.00 |
(1)在被調(diào)查的男生中,成績(jī)?yōu)锽等級(jí)的有多少人,占被調(diào)查男生人數(shù)的多少,m 等于 多少;
(2)求a,b,n的值;
(3)如果該校七年級(jí)共有200名男生,試估計(jì)這200名男生中成績(jī)達(dá)到A等級(jí)和B等級(jí)的共有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將自然數(shù)按如表規(guī)律排列,表中數(shù)2在第二行第一列,與有序數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng),數(shù)5與對(duì)應(yīng),數(shù)14與對(duì)應(yīng),根據(jù)這一規(guī)律,數(shù)2014對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)為__________.
第一列 | 第二列 | 第三列 | 第四列 | 第五列 | ||
第一行 | 1 | 4 | 5 | 16 | 17 | … |
第二行 | 2 | 3 | 6 | 15 | … | |
第三行 | 9 | 8 | 7 | 14 | … | |
第四行 | 10 | 11 | 12 | 13 | … | |
第五行 | … | |||||
…… |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)中學(xué)生體質(zhì)健康綜合評(píng)定成績(jī)?yōu)閤分,滿分為100分,規(guī)定:85≤x≤100為A級(jí),75≤x≤85為B級(jí),60≤x≤75為C級(jí),x<60為D級(jí).現(xiàn)隨機(jī)抽取福海中學(xué)部分學(xué)生的綜合評(píng)定成績(jī),整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,一共抽取了名學(xué)生,α=%;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中C級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角為度;
(4)若該校共有2000名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校D級(jí)學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠B=30°,點(diǎn)D在BC邊上,點(diǎn)E在AC邊上,AD=BD,DE=CE,若△ADE為等腰三角形,則∠C的度數(shù)為( 。
A. 20° B. 20°或30° C. 30°或40° D. 20°或40°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB是一鋼架,且∠O=15°,為使鋼架更加牢固,需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF、FG、GH、…,添加的鋼管長(zhǎng)度都與OE相等,則最多能添加這樣的鋼管( )
A. 2根 B. 4根 C. 5根 D. 無數(shù)根
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,P是BC邊上一點(diǎn),△PAD的面積為 ,設(shè)AB=x,AD=y
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若∠APD=45°,當(dāng)y=1時(shí),求PBPC的值;
(3)若∠APD=90°,求y的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)材料1:一般地,n個(gè)相同因數(shù)a相乘: 記為 如,此時(shí),3叫做以2為底的8的對(duì)數(shù),記為log28(即log28=3).那么,log39=________,=________;
(2)材料2:新規(guī)定一種運(yùn)算法則:自然數(shù)1到n的連乘積用n!表示,例如:1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1=24,…在這種規(guī)定下,請(qǐng)你解決下列問題:
①算5!=________;
②已知x為整數(shù),求出滿足該等式的.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E在BC上,AE=BE,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn),且AF⊥AB,若AD=2.7,AF=4,AB=6,則CE的長(zhǎng)為( 。
A. 2 B. 2-1 C. 2.5 D. 2.3
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