Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D為AB的中點(diǎn)，EF為△ACD 的中位線，四邊形EFGH為△ACD的內(nèi)接矩形（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)均在△ACD的邊上）．

（1）計(jì)算矩形EFGH的面積；

（2）將矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上時(shí)停止移動(dòng)．在平移過程中，當(dāng)矩形與△CBD重疊部分的面積為時(shí)，求矩形平移的距離；

（3）如圖③，將（2）中矩形平移停止時(shí)所得的矩形記為矩形，將矩形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)落在CD上時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）矩形移動(dòng)的距離為時(shí)，矩形與△CBD重疊部分的面積是；（3）

【解析】（1）根據(jù)已知，由直角三角形的性質(zhì)可知AB=2，從而求得AD，CD，利用中位線的性質(zhì)可得EF，DF，利用三角函數(shù)可得GF，由矩形的面積公式可得結(jié)果；

（2）首先利用分類討論的思想，分析當(dāng)矩形與△CBD重疊部分為三角形時(shí)（0＜x≤），利用三角函數(shù)和三角形的面積公式可得結(jié)果；當(dāng)矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時(shí)（＜x≤），列出方程解得x；

（3）作H2Q⊥AB于Q，設(shè)DQ=m，則H2Q＝m，又DG1＝，H2G1＝，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函數(shù)解得cosα．

（1）如圖①，

在中，

∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2,

又∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=1，．

又∵EF是的中位線，∴，

在中，AD=CD, ∠A=60°,

∴∠ADC=60°．

在中,60°，

∴矩形EFGH的面積．

（2）如圖②，設(shè)矩形移動(dòng)的距離為則，

當(dāng)矩形與△CBD重疊部分為三角形時(shí)，

則，

， ∴．（舍去）．

當(dāng)矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時(shí)，則，

重疊部分的面積S=, ∴．

即矩形移動(dòng)的距離為時(shí)，矩形與△CBD重疊部分的面積是．

（3）如圖③，作于．

設(shè)，則，又，．

在Rt△H2QG1中， ，

解之得（負(fù)的舍去）．

∴．