Question

（2012•溫州模擬）如圖，過(guò)點(diǎn)B（2，0）的直線l：y=kx+2

3

交y軸于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象交于點(diǎn)C（3，n）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）將△OBC繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α角（α為銳角），得到△OB′C′．當(dāng)OC′⊥AB時(shí)，求點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法把B（2，0）代入直線ly=kx+2

3

的解析式可以算出k的值，繼而得到直線l的解析式，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l的解析式可以算出C點(diǎn)坐標(biāo)，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

m

x

即可得到反比例函數(shù)的解析式；
（2）首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，證明AO=CO，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ACO=∠OAC，再利用勾股定理計(jì)算出AB的長(zhǎng)，繼而得到∠OAC的度數(shù)，也就是得到了∠ACO的度數(shù)，再由條件OC′⊥AB計(jì)算出∠C′OC的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算出點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（2，0）在直線l：y=kx+2

3

上，
∴2k+2

3

=0，
∴k=-

3

，
直線l的解析式為：y=-

3

x+2

3

，
∵點(diǎn)C（3，n）在直線y=-

3

x+2

3

上，
∴-

3

×3+2

3

=n，
n=-

3

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（3，-

3

），
∵C（3，-

3

）在反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象上，
∴m=-3

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式是：y=-

3 3

x

；

（2）過(guò)C點(diǎn)作CE⊥x軸于E，如圖，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)是（3，-

3

），
∴OC=

32+(- 3 )2

=2

3

，
∵點(diǎn)A是直線y=-

3

x+2

3

與y軸交點(diǎn)，
∴AO=2

3

，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠OAC，
又∵OB=2，
∴AB=

(2 3 )2+22

=4，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°，
∵OC′⊥AB，
∴∠C′OC=60°，
點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度=

60π×2 3

180

=

2 3 π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)關(guān)系式，以及旋轉(zhuǎn)和弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是掌握凡是圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)都能滿足解析式，求出∠C′OC的度數(shù)是解決第二問(wèn)的關(guān)鍵．