Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中兩條直線OC⊥BC，垂足為C，其OC＝2cm，∠COB＝60°，反比例函數(shù)y＝的圖象過點C.

(1)求：反比例函數(shù)表達式和點B的坐標.

(2)若現(xiàn)有長為1cm的線段MN在線段OB上沿OB方向以1cm/s的速度向點B運動(運動前點M與點O重合，N到點B停止運動)，過M、N作OB的垂線分別交直線OC、BC于P、Q兩點，線段MN運動的時間為ts.

①若△OMP的面積為S.求出當0＜t≤1時，S與t的函數(shù)關(guān)系式.

②線段MN運動過程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若可能，直接寫出此時t的值；若不可能，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)y＝，B(4，0)；(2)①S=t2；②可能，t＝.

【解析】

(1)過點C作CD⊥OB于點D，在Rt△ODC中運用三角函數(shù)可求出點C的坐標，然后將點C的坐標代入y＝，就可得到反比例函數(shù)表達式，然后在Rt△OCB中運用三角函數(shù)就可求出點B的坐標；

(2)由題可得：OM＝t，MN＝1，ON＝t+1.①只需用t的代數(shù)式表示出PM，就可解決問題；②分別表示出PM、QN的長(用t的代數(shù)式)，根據(jù)四邊形MNQP為矩形時PM＝QN建立關(guān)于t的方程，解這個方程就可得到t的值.

解：(1)過點C作CD⊥OB于點D，如圖1.

在Rt△ODC中，

∵OC＝2，∠COD＝60°，

∴CD＝OCsin∠COD＝2×＝，

OD＝OCcos∠COD＝2×＝1，

∴點C的坐標為(1，).

∵反比例函數(shù)y＝的圖象過點C，

∴k＝1×＝，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝.

∵OC⊥BC，

∴cos∠COB＝，即＝，

∴OB＝4，

∴點B的坐標為(4，0)；

(2)由題可得：OM＝1×t＝t，MN＝1，ON＝t+1.

①當0＜t≤1時，

∵點C(1，2)，

∴點P在線段OC上，如圖2.

在Rt△OMP中，

PM＝OMtan∠POM＝t，

∴S＝OMPM＝×t×t＝t2；

②t的值為.

解題思路：求出直線OC的解析式，為y＝x；

求出直線BC的解析式，為y＝﹣x+；

從而得到PM＝t，QN＝﹣(t+1)+ ；

若四邊形MNQP是矩形，則有PM＝QN，如圖3，

則t＝﹣ (t+1)+ ，

解得：t＝，

此時點M、點N都在線段OB上，符合條件.