Question

【題目】如圖，E是矩形ABCD內的一個動點，連接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，設它們的面積分別是m、n、p、q，給出如下結論：

①m+n=q+p；

②m+p=n+q；

③若m=n，則E點一定是AC與BD的交點；

④若m=n，則E點一定在BD上．

其中正確結論的序號是（　　）

A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：過E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，由矩形的性質容易證出①不正確，②正確；若m=n，則p=q，作AP⊥BE于P，作CQ⊥DE于Q，延長BE交CD于F，先證AP=CQ，再證明△ABP≌△CFQ，得出AB=CF，F(xiàn)與D重合，得出③不正確，④正確，即可得出結論．

詳解：過E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，如圖1所示： 則m=ABEM，n=BCEH，p=CDEN，q=ADEG，

∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB=CD=GH，BC=AD=MN，

∴m+p=ABMN=ABBC，n+q=BCGH=BCAB， ∴m+p=n+q；∴①不正確，②正確；

若m=n，則p=q，作AP⊥BE于P，作CQ⊥BE于Q，延長BE交CD于F，如圖2所示：

則∠APB=∠CQF=90°， ∵m=BEAP，n=BECQ， ∵m=n， ∴AP=CQ，

∵AB∥CD， ∴∠1=∠2， ∴△ABP≌△CFQ（AAS）， ∴AB=CF， ∴F與D重合，

∴E一定在BD上； ∴③不正確，④正確． 故選：B．