【題目】如圖1,正方形ABCD的邊AD在y軸上,拋物線y=a(x﹣2)2﹣1經(jīng)過點A、B,與x相交于點E、F,且其頂點M在CD上.
(1)請直接寫出點A的坐標(biāo) ,并寫出a的值 ;
(2)若點P是拋物線上一動點(點P不與點A、點B重合),過點P作y軸的平行線l與直線AB交于點G,與直線BD交于點H,如圖2.
①當(dāng)線段PH=2GH時,求點P的坐標(biāo);
②當(dāng)點P在直線BD下方時,點K在直線BD上,且滿足△KPH∽△AEF,求△KPH周長的最大值.
【答案】(1)(0,3);2;(2)①點P的坐標(biāo)為(3,0)或(﹣1,8).②.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)拋物線的對稱性、拋物線的頂點坐標(biāo)以及正方形四邊都相等的性質(zhì)解答;
(2)①根據(jù)待定系數(shù)法可得直線BD的解析式,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,x2﹣4x+3),則點H(x,x﹣1),點G(x,3).分三種情況:i)當(dāng)x≥1且x≠4時;ii)當(dāng)0<x<1時;iii)當(dāng)x<0時;三種情況討論可得點P的坐標(biāo);
②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得S△KPH=PH2=(﹣x2+5x﹣4)2,再根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得△KPH面積的最大值.
解:(1)如圖1,∵拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2﹣1,頂點是M,
∴M(2,﹣1).
又∵四邊形ABCD是正方形,
∴OD=1,DC=BC=AB=AD=4,
∴A(0,3).
把A(0,3)代入y=a(x﹣2)2﹣1,得
3=a(0﹣2)2﹣1,
解得a=2.
故答案是:(0,3);2;
(2)①設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b(k≠0),由于直線BD經(jīng)過D(0,﹣1),B(4,3),
則,
解得,
故直線BD的解析式為y=x﹣1.
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,x2﹣4x+3),則點H(x,x﹣1),點G(x,3).
i)當(dāng)x≥1且x≠4時,點G在PH的延長線上,如圖2.
∵PH=2GH,
∴(x﹣1)﹣(x2﹣4x+3)=2[3﹣(x﹣1)],
∴x2﹣7x+12=0,
解得x1=3,x2=4.
當(dāng)x2=4時,點P,H,G重合于點B,舍去.
∴x=3.
∴此時點P的坐標(biāo)為(3,0).
ii)當(dāng)0<x<1時,點G在PH的反向延長線上,如圖3,PH=2GH不成立.
iii)當(dāng)x<0時,點G在線段PH上,如圖4.
∵PH=2GH,
∴(x2﹣4x+3)﹣(x﹣1)=2[3﹣(x﹣1)],
∴x2﹣3x﹣4=0,解得x1=﹣1,x2=4(舍去),
∴x=﹣1.此時點P的坐標(biāo)為(﹣1,8).
綜上所述可知,點P的坐標(biāo)為(3,0)或(﹣1,8).
②如圖5,令x2﹣4x+3=0,得x1=1,x2=3,
∴E(1,0),F(3,0),
∴EF=2.
∴S△AEF=EFOA=3.
∵△KPH∽△AEF,
∴=()2,
∴S△KPH=PH2=(﹣x2+5x﹣4)2.
∵1<x<4,
∴當(dāng)x=時,S△KPH的最大值為.
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【題目】如圖,在口ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=,對角線BD、AC交于點O.將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)分別交BC、AD于點E、F.
(1)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,AF與CE總保持相等;
(2)證明:當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90時,四邊形ABEF是平行四邊形;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能,請說明理由;如果能,求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的角度.
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【題目】有一種“24點”游戲,其游戲規(guī)則是這樣的,將4個1~13之間的數(shù),進行加減乘除四則運算(每個數(shù)且只能用一次),使運算結(jié)果為24,例如,1,2,3,4可作如下運算:(1+2+3)×4=24,1×2×3×4=24.現(xiàn)有四個有理數(shù)3,4,﹣6,10,你能運用上述規(guī)則,寫出一種運算式,使其結(jié)果等于24.你寫出算式是:_____.
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【題目】如圖,在一長方形休閑廣場的四角都設(shè)計一塊半徑相同的四分之一圓的花壇,正中設(shè)計一個圓形噴水池,若四周圓形和中間圓形的半徑均為米,廣場長為米,寬為米.
(1)請列式表示廣場空地的面積;
(2)若休閑廣場的長為500米,寬為300米,圓形花壇的半徑為20米,求廣場空地的面積(計算結(jié)果保留).
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,AB=8cm,AD=12cm,點P在AD 邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動,點Q在BC邊上,以每秒4cm的速度從點C出發(fā),在CB間往返運動,兩個點同時出發(fā),當(dāng)點P到達點D時停止(同時點Q也停止),在運動以后,以P、D、Q、B四點組成平行四邊形的次數(shù)有( )
A.4次 B.3次 C.2次 D.1次
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【題目】一個兩位數(shù),個位上的數(shù)字是a,十位上的數(shù)字是b,用代數(shù)式表示這個兩位數(shù)是( 。
A. ab B. ba C. 10a+b D. 10b+a
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【題目】如圖,已知△ABC三個頂點坐標(biāo)分別是A(1,3),B(4,1),C(4,4).
(1)請按要求畫圖:
①畫出△ABC向左平移5個單位長度后得到的△A1B1C1;
②畫出△ABC繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2.
(2)請寫出直線B1C1與直線B2C2的交點坐標(biāo).
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