Question

【題目】將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,0)(m>0),點(diǎn)D(m,1)在BC上,將矩形OABC沿AD折疊壓平,使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi),設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.

(1)當(dāng)m=3時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ；

(2)隨著m的變化,試探索:點(diǎn)E能否恰好落在x軸上?若能,請(qǐng)求出m的值;若不能,請(qǐng)說明理由.

(3)如圖,若點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-1,且點(diǎn)(2,a)落在△ADE的內(nèi)部,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）(3，4)，(0，1)；（2）能，m=；（3）1<a<2.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)C的坐標(biāo)和矩形的性質(zhì)可以得到點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）由折疊的性質(zhì)求得線段DE和AE的長(zhǎng)，然后利用勾股定理得到有關(guān)m的方程，求得m的值即可；

（3）過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，EF分別與 AD、OC交于點(diǎn)G、H，過點(diǎn)D作DP⊥EF于點(diǎn)P，首先利用勾股定理求得線段DP的長(zhǎng)，從而求得線段BF的長(zhǎng)，再利用△AFG∽△ABD得到比例線段求得線段FG的長(zhǎng)，最后求得a的取值范圍．

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，4)，

∵AB=BD=3，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠BAD=45°，

則∠DAE=∠BAD=45°，

則E在y軸上.

AE=AB=BD=3，

∴四邊形ABDE是正方形，OE=1，

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，1)；

故答案為(3，4)，(0，1)；

（2）點(diǎn)E能恰好落在x軸上.理由如下：

∵四邊形OABC為矩形，

∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCE=90，

由折疊的性質(zhì)可得：DE=BD=OACD=41=3，AE=AB=OC=m，

如圖，假設(shè)點(diǎn)E恰好落在x軸上，在Rt△CDE中，由

勾股定理可得EC===，

則有OE=OCCE=m，

在Rt△AOE中,OA2+OE2=AE2，

即,解得m=；

（3）如圖,過點(diǎn)E作EF⊥AB于F,EF分別與AD、OC交于點(diǎn)G、H,過點(diǎn)D作DP⊥EF于點(diǎn)P,則EP=PH+EH=DC+EH=2,

在Rt△PDE中,由勾股定理可得，

∴BF=DP=，

在Rt△AEF中,AF=ABBF=m，EF=5，AE=m

∵AF2+EF2=AE2

∴(m)2+52=m2，

解得m=，

∴AB=，AF=，E(，1)

∵∠AFG=∠ABD=90，∠FAG=∠BAD

∴△AFG∽△ABD

∴,即，

解得FG=2，

∴EG=EFFG=3

∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2，

∵點(diǎn)(,a)在直線x=上,且點(diǎn)(,a)落在△ADE的內(nèi)部，

∴此點(diǎn)必在EG上，

∴1<a<2，

故a的取值范圍為1<a<2.