Question

【題目】尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖。尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題.只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題.初中階段同學(xué)們首次接觸的尺規(guī)作圖是“作一條線段等于已知線段”.

圖1

圖2

備用圖

（1）如圖1，在線段外有一點(diǎn)，現(xiàn)在利用尺規(guī)作圖驗(yàn)證“兩點(diǎn)之間線段最短”，.請(qǐng)根據(jù)提示，用尺規(guī)完成作圖，并補(bǔ)充驗(yàn)證步驟.

第一步，以為圓心，為半徑作弧，交線段于點(diǎn)，則_____________；

第二步，以為圓心，為半徑作弧，交線段于點(diǎn)，則_____________；

則____________________________________________

故：.

（2）如圖2，在直線上，從左往右依次有四個(gè)點(diǎn)，，，，且，.現(xiàn)以為圓心，半徑長(zhǎng)為作圓，與直線兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)交點(diǎn)記為點(diǎn).再以為圓心；相同半徑長(zhǎng)作圓，與直線兩個(gè)交點(diǎn)中左側(cè)交點(diǎn)記為點(diǎn).若，，三點(diǎn)中，有一點(diǎn)分另外兩點(diǎn)所連線段之比為，求半徑的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；AM；BN；AM ； BN ；MN（2）6、10、、34.

【解析】

（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟按步驟進(jìn)行操作，根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

（2）根據(jù)題目中的線段間的關(guān)系，分類進(jìn)行討論，分別為當(dāng)P點(diǎn)在Q、F之間時(shí)，當(dāng)Q點(diǎn)在P、F之間時(shí)，當(dāng)F點(diǎn)在P、Q之間時(shí)，分別根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系求解即可.

解：如圖：

（1）第一步，以為圓心，為半徑作弧，交線段于點(diǎn)，則AM；

第二步，以為圓心，為半徑作弧，交線段于點(diǎn)，則BN；

則AMBNMN

故：.

（2）

當(dāng)P點(diǎn)在QF之間，①PF=2QP時(shí)，

∵=4，

∴,

∵OP=r,

∴，

同理可得OQ=8-r

∴QP=

∵,

∴PF=8-r+6=14-r，

2（2r-8）=14-r,

解得：r=6.

②PQ=2PF

∵,

∴OF=14，

∵OP=r，

∴PF=14-r,

∵,

∴OQ=r-8

∴，

同理

∴QP=8+2×（8-r）=24-2r

∴24-2r=14-r

解得r=10.

當(dāng)Q點(diǎn)在中間時(shí)，即QF=2PQ

∵=4，

∴,

∵,

∴PQ=8-2r，

QF=6+r

6+r=8-2r

∴r=.

當(dāng)F點(diǎn)在Q、P之間，QF=2FP時(shí)

∵=4，

∴,

∵,

∴FP=r-OF=r-14，

QF=r+6，

∴r+6=2（r-14），

解得r=34

故答案是：6、10、、34.