Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，

（1）求作⊙O，圓心O是AD的中垂線與AB的交點，OD為半徑．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）
（2）求證：BC是⊙O切線．
（3）若BD=5，DC=3，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，⊙O即為所求；

（2）解：證明：∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠3．

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠ACB=90°．

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O切線．

（3）解：過點D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得：BE= = =4，

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．

∴ = ．

∴ = ．

∴AC=6．

【解析】（1）由中垂線的尺規(guī)作圖得到點O,再作圓即可；（2）由角平分線及同圓的半徑相等得出∠2=∠3，進而OD∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）由角平分線的性質(zhì)定理得出CD=DE=3．再由勾股定理得出BE的長度，進而判斷出△BDE∽△BAC，最后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出結(jié)論。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用角平分線的性質(zhì)定理和勾股定理的概念的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．