【題目】已知:如圖, △ABC中,AB=AC,D在AC上,E在BC上,A E,B D交于F,∠AFD=60°,∠FDC+∠FEC=180°.
(1)求證:BE=CD.
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AF于G,直接寫(xiě)出AE ,FG, BF的關(guān)系.
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接CG,若FG=BF,△AGD的面積等于5,求GC的長(zhǎng)度.
【答案】(1)見(jiàn)詳解;(2)AE-BF=2FG;(3)
【解析】
(1)證明△ABE≌△BCD即可;
(2)利用△ABE≌△BCD,可得AE=BD,由圖可知DF=BD-BF,再利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半,可得DF=2GF,即可得到AE,FG,BF的關(guān)系;
(3)連接BG,將三角形CBG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),是CB與CA重合,G點(diǎn)落在M處連接GM,先利用條件證出△GCM為等邊三角形,再證出△GAM為等腰直角三角形,利用
△AGD的面積等于5,求出GA2,最后利用勾股定理求出GM即為GC.
解:(1)∵∠FDC+∠FEC=180°,∠FEC+∠AEB=180°
∴∠FDC=∠AEB
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠BAE=180°―∠ABC―∠AEB
∠CBD=180°―∠ACB―∠FDC
∴∠BAE=∠CBD
∵∠AFD是△ABF的外角
∴∠AFD=∠BAE+∠ABF=∠CBD+∠ABF=∠ABC
∴∠ABC=60°
∴△ABC是等邊三角形
∴AB=BC
在△ABE和△BCD中
∴△ABE≌△BCD(AAS)
∴BE=CD
(2)∵△ABE≌△BCD
∴AE=BD
在Rt△GFD中∵∠GFD=60°
∴∠GDF=30°
∴
∴BD-BF=2FG
∴AE-BF=2FG
(3)連接BG,將三角形CBG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),是CB與CA重合,G點(diǎn)落在M處連接GM.
可得BG=AM,CG=CM,∠GBC=∠MAC,∠GCB=∠MCA
∴∠MCG=∠MCA+∠ACG=∠GCB+∠ACG=∠ACB=60°
∴△GCM為等邊三角形
∴CG=CM=GM
∵FG=BF,∠GFD是△FBG的外角
∴∠FBG=∠FGB=∠GFD=30°
又∵∠GDF=30°
∴GB=GD,∠BGD=120°
又∵∠BAD=60°
∴點(diǎn)A在以G為圓心,GB為半徑的圓上
∴GB=GD=GA,△AGD的面積等于5
∴∠GAB=∠GBA=∠FGB=15°,GD·GA=5
∴GA2=10
由(1)中△ABE≌△BCD
∴∠DBC=∠GAB=15°
∴∠GBC=∠FBG+∠DBC=45°
∴∠CAM=45°
∴∠GAM=90°
∴△GAM為等腰直角三角形,
∴GM=
∴GC=GM=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“低碳生活,綠色出行”,2017年1月,某公司向深圳市場(chǎng)新投放共享單車(chē)640輛.
(1)若1月份到4月份新投放單車(chē)數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率相同,3月份新投放共享單車(chē)1000輛.請(qǐng)問(wèn)該公司4月份在深圳市新投放共享單車(chē)多少輛?
(2)考慮到自行車(chē)市場(chǎng)需求不斷增加,某商城準(zhǔn)備用不超過(guò)70000元的資金再購(gòu)進(jìn)A,B兩種規(guī)格的自行車(chē)100輛,已知A型的進(jìn)價(jià)為500元/輛,售價(jià)為700元/輛,B型車(chē)進(jìn)價(jià)為1000元/輛,售價(jià)為1300元/輛。假設(shè)所進(jìn)車(chē)輛全部售完,為了使利潤(rùn)最大,該商城應(yīng)如何進(jìn)貨?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解下列各題:
(1)已知∠A,∠B,∠C是銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角,且滿(mǎn)足(2sinA-)2+=0,求∠C的度數(shù);
(2)已知tanα的值是方程x2-x-2=0的一個(gè)根,求式子的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABD與等邊△ACE,連接BE、CD,BE的延長(zhǎng)線(xiàn)與CD交于點(diǎn)F,下列結(jié)論:(1)BE=CD ;(2)AF平分∠EAC ; (3)∠BFD=60°;(4)AF+FD=BF 其中正確的有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠ACB=90°,AC=BC,D為△ABC外一點(diǎn),且AD=BD,DE⊥AC交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,
(1)求證:DE=AE+BC .
(2)若,求線(xiàn)段AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市創(chuàng)建“綠色發(fā)展模范城市”,針對(duì)境內(nèi)長(zhǎng)江段兩種主要污染源:生活污水和沿江工廠(chǎng)污染物排放,分別用“生活污水集中處理”(下稱(chēng)甲方案)和“沿江工廠(chǎng)轉(zhuǎn)型升級(jí)”(下稱(chēng)乙方案)進(jìn)行治理,若江水污染指數(shù)記為Q,沿江工廠(chǎng)用乙方案進(jìn)行一次性治理(當(dāng)年完工),從當(dāng)年開(kāi)始,所治理的每家工廠(chǎng)一年降低的Q值都以平均值n計(jì)算.第一年有40家工廠(chǎng)用乙方案治理,共使Q值降低了12.經(jīng)過(guò)三年治理,境內(nèi)長(zhǎng)江水質(zhì)明顯改善.
(1)求n的值;
(2)從第二年起,每年用乙方案新治理的工廠(chǎng)數(shù)量比上一年都增加相同的百分?jǐn)?shù)m,三年來(lái)用乙方案治理的工廠(chǎng)數(shù)量共190家,求m的值,并計(jì)算第二年用乙方案新治理的工廠(chǎng)數(shù)量;
(3)該市生活污水用甲方案治理,從第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加個(gè)相同的數(shù)值a.在(2)的情況下,第二年,用乙方案所治理的工廠(chǎng)合計(jì)降低的Q值與當(dāng)年因甲方案治理降低的Q值相等,第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).
△ACB和△DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于點(diǎn)F.
(1)求證:△ACB∽△DCE;(2)求證:EF⊥AB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在 Rt△ABC 中,∠C=Rt∠,AC=2BC,AB=5,D、E 分別在 AB、AC 上,且 AE ,DE∥BC.
(1)如圖(1),將△ADE 沿射線(xiàn) DA 方向平移,得到△ A1 D1 E1 ,當(dāng) AD1 多大時(shí),四邊形 AA1 E1 E 為菱形;
(2)如圖(2),將△ADE 繞 A 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 度( 00 1800 )得到△AD2E2
①連結(jié) CE2 , BD2 ,求:的值;
②連結(jié) CE2 , BE2 若△ ACE2 是直角三角形,求:△ ABE 2 的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小區(qū)積極創(chuàng)建環(huán)保示范社區(qū),決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類(lèi)的溫馨提示牌和垃圾箱,已知溫馨提示牌的單價(jià)為每個(gè)30元,垃圾箱的單價(jià)為每個(gè)90元,共需購(gòu)買(mǎi)溫馨提示牌和垃圾箱共100個(gè).
(1)若規(guī)定溫馨提示牌和垃圾箱的個(gè)數(shù)之比為1:4,求所需的購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用;
(2)若該小區(qū)至多安放48個(gè)溫馨提示牌,且費(fèi)用不超過(guò)6300元,請(qǐng)列舉所有購(gòu)買(mǎi)方案,并說(shuō)明理由.
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