【題目】如圖1,ABC內(nèi)接于OBAC的平分線(xiàn)交O于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E(BEEC),且BD=2.過(guò)點(diǎn)D作DFBC,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.

(1)求證:DF為O的切線(xiàn);

(2)若BAC=60°DE=,求圖中陰影部分的面積;

(3)若,DF+BF=8,如圖2,求BF的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)9;(3)3

【解析】試題分析:(1)連結(jié)OD,如圖1,由已知得到BAD=CAD,得到,再由垂徑定理得ODBC,由于BCEF,則ODDF,于是可得結(jié)論;

2)連結(jié)OB,ODBCP,作BHDFH,如圖1,先證明OBD為等邊三角形得到ODB=60°,OB=BD=,得到BDF=DBP=30°,在RtDBP中得到PD=,PB=3,在RtDEP中利用勾股定理可算出PE=2,由于OPBC,則BP=CP=3,得到CE=1,由BDE∽△ACE,得到AE的長(zhǎng),再證明ABE∽△AFD,可得DF=12,最后利用S陰影部分=SBDF﹣S弓形BD=SBDFS扇形BOD﹣SBOD)進(jìn)行計(jì)算;

3)連結(jié)CD,如圖2,由可設(shè)AB=4x,AC=3x,設(shè)BF=y,由得到CD=BD=,由BFD∽△CDA,得到xy=4,再由FDB∽△FAD,得到16﹣4y=xy,則16﹣4y=4,然后解方程即可得到BF=3

試題解析:(1)連結(jié)OD,如圖1,AD平分BACOD,∴∠BAD=CAD,ODBC,BCEFODDF,DFO的切線(xiàn);

2)連結(jié)OB,連結(jié)ODBCP,作BHDFH,如圖1∵∠BAC=60°,AD平分BAC∴∠BAD=30°,∴∠BOD=2BAD=60°,∴△OBD為等邊三角形,∴∠ODB=60°OB=BD=,∴∠BDF=30°,BCDF,∴∠DBP=30°,在RtDBP中,PD=BD=PB=PD=3,在RtDEP中,PD=,DE=,PE==2,OPBCBP=CP=3,CE=3﹣2=1,易證得BDE∽△ACE,AEBE=CEDE,即AE5=1,AE=,BEDF,∴△ABE∽△AFD,,即,解得DF=12,在RtBDH中,BH=BD=,S陰影部分=SBDF﹣S弓形BD=SBDFS扇形BOD﹣SBOD==

3)連結(jié)CD,如圖2,由可設(shè)AB=4x,AC=3x,設(shè)BF=y,CD=BD=,∵∠F=ABC=ADC,∵∠FDB=DBC=DAC,∴△BFD∽△CDA,即xy=4∵∠FDB=DBC=DAC=FAD,而DFB=AFD∴△FDB∽△FAD,,即,整理得16﹣4y=xy16﹣4y=4,解得y=3,即BF的長(zhǎng)為3

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】立定跳遠(yuǎn)是體育中考選考項(xiàng)目之一,體育課上老師記錄了某同學(xué)的一組立定跳遠(yuǎn)成績(jī)?nèi)绫恚?/span>

成績(jī)(m

2.3

2.4

2.5

2.4

2.4

則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說(shuō)法,正確的是( 。

A.眾數(shù)是2.3B.平均數(shù)是2.4

C.中位數(shù)是2.5D.方差是0.01

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】五四青年節(jié)期間,校團(tuán)委對(duì)團(tuán)員參加活動(dòng)情況進(jìn)行表彰,計(jì)劃分為優(yōu)秀獎(jiǎng)和貢獻(xiàn)獎(jiǎng),為此聯(lián)系印刷公司設(shè)計(jì)了兩種獎(jiǎng)狀,A,B兩家公司都為學(xué)校提出了相同規(guī)格和單價(jià)的兩種獎(jiǎng)狀,其中優(yōu)秀獎(jiǎng)的獎(jiǎng)狀6/張,貢獻(xiàn)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)狀5/張,經(jīng)過(guò)協(xié)商,A公司的優(yōu)惠條件是:兩種獎(jiǎng)狀都打八折,但要收制版費(fèi)50元;B公司的優(yōu)惠條件是:兩種獎(jiǎng)狀都打九折;根據(jù)學(xué)校要求,優(yōu)秀獎(jiǎng)的個(gè)數(shù)是貢獻(xiàn)獎(jiǎng)的2倍還多10個(gè),如果設(shè)貢獻(xiàn)獎(jiǎng)的個(gè)數(shù)是x個(gè)

(1)分別寫(xiě)出校團(tuán)委購(gòu)買(mǎi)A,B兩家印刷廠所需要的總費(fèi)用y1(元)和y2(元)與貢獻(xiàn)獎(jiǎng)個(gè)數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)校團(tuán)委選擇哪家印刷公司比較合算?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)y=x2+bx+cx軸交于點(diǎn)A,B(AB的左側(cè)),拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1,AB=4.

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;

(2)拋物線(xiàn)上有兩點(diǎn)M(x1,y1)和N(x2,y2),若x11,x21,x1+x22,試判斷y1y2的大小,并說(shuō)明理由;

(3)平移該拋物線(xiàn),使平移后的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,且與x軸交于點(diǎn)D,記平移后的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為點(diǎn)P

①若△ODP是等腰直角三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②在①的條件下,直線(xiàn)x=m(0m3)分別交線(xiàn)段BP、BC于點(diǎn)E、F,且△BEF的面積:△BPC的面積=2:3,直接寫(xiě)出m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】點(diǎn)(a,y1)(a+2y2)都在反比例函數(shù)yk0)的圖象上,若y1y2,則a的取值范圍是_____

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】問(wèn)題再現(xiàn):

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,借助這種思想方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀并且具有可操作性.初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式,很多都可以通過(guò)表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋.

例如:利用圖形的幾何意義驗(yàn)證完全平方公式.

將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形的邊長(zhǎng)增加,形成兩個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)正方形,如圖所示:這個(gè)圖形的面積可以表示成:

這就驗(yàn)證了兩數(shù)和的完全平方公式.

類(lèi)比解決:

請(qǐng)你類(lèi)比上述方法,利用圖形的幾何意義驗(yàn)證平方差公式.

(要求畫(huà)出圖形并寫(xiě)出推理過(guò)程)

問(wèn)題提出:如何利用圖形幾何意義的方法證明?

如圖所示,表示1個(gè)1×1的正方形,即:表示1個(gè)2×2的正方形,恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形,因此:、、就可以表示2個(gè)2×2的正方形,即:、、恰好可以拼成一個(gè)的大正方形.

由此可得:.

嘗試解決:

請(qǐng)你類(lèi)比上述推導(dǎo)過(guò)程,利用圖形的幾何意義確定:_______.(要求寫(xiě)出結(jié)論并構(gòu)造圖形寫(xiě)出推證過(guò)程).

問(wèn)題拓廣:

請(qǐng)用上面的表示幾何圖形面積的方法探究:_______.(直接寫(xiě)出結(jié)論即可,不必寫(xiě)出解題過(guò)程).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知一次函數(shù)y1=k1x+b的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)的圖象分別交于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)D(2,﹣3),點(diǎn)B是線(xiàn)段AD的中點(diǎn).

(1)求一次函數(shù)y1=k1x+b與反比例函數(shù)的解析式;

(2)求COD的面積;

(3)直接寫(xiě)出y1y2時(shí)自變量x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如果關(guān)于的不等式組的整數(shù)解僅有,,那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù),組成的有序數(shù)對(duì)共有_______個(gè);如果關(guān)于的不等式組(其中,為正整數(shù))的整數(shù)解僅有,那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù),組成的有序數(shù)對(duì)共有______個(gè).(請(qǐng)用含、的代數(shù)式表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∠DAE=60°,BE=4,CD=6,則DE的長(zhǎng)為________

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