【題目】如圖,BC為⊙O的直徑,A為⊙O上的點,以BC、AB為邊作ABCD,⊙O交AD于點E,連結(jié)BE,點P為過點B的⊙O的切線上一點,連結(jié)PE,且滿足∠PEA=∠ABE.
(1)求證:PB=PE;
(2)若sin∠P=, 求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2);
【解析】
(1)根據(jù)切線的性質(zhì)求得∠ABP=∠AEB,根據(jù)已知條件即可求得∠PBE=∠PEB,根據(jù)等角對等邊即可證明結(jié)論;
(2)連接EC,延長DA交PB于F,根據(jù)平行弦的性質(zhì)得出,進而求得AB=CE=CD,得出三角形CED是等腰三角形,在等腰三角形PBE中根據(jù)勾股定理求得BE的長,進而求得,由于∠AEB=∠EBC,∠ABP=∠AEB,得出∠ABP=∠EBC,從而得出∠PBE=∠ABC=∠D,求得△CDE∽△PBE,得出.
(1)證明:∵PB是⊙O的切線,
∴∠ABP=∠AEB,
∵∠PEA=∠ABE.
∴∠PBE=∠PEB,
∴PB=PE;
(2)連接EC,延長DA交PB于F,
∵PB是⊙O的切線,
∴BC⊥PB,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∴EF⊥PB,
∵sin∠P=,
設PE=5a,EF=3a,則PF=4a,
∵PB=PE=5a,
∴BF=a,
∴BE=,
∴,
∵AD∥BC,
∴,
∴AB=CE,
∵AB=CD,
∴CE=CD,
∴∠D=∠CED,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∵∠ABP=∠AEB,
∴∠ABP=∠EBC,
∴∠PBE=∠ABC,
∴∠PBE=∠D,
∵∠PBE=∠PEB,
∴△CDE∽△PBE,
∴.
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【題目】如圖,,,.
(1)點到軸的距離為:______;
(2)的三邊長為:______,______,______;
(3)當點在軸上,且的面積為6時,點的坐標為:______.
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【題目】一次函數(shù)的圖像為直線.
(1)若直線與正比例函數(shù)的圖像平行,且過點(0,2),求直線的函數(shù)表達式;
(2)若直線過點(3,0),且與兩坐標軸圍成的三角形面積等于3,求的值.
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【題目】位于南岸區(qū)黃桷埡的文峰塔,有著“平安寶塔”之稱.某校數(shù)學社團對其高度 AB進行了測量.如圖,他們從塔底A的點B出發(fā),沿水平方向行走了13米,到達點C,然后沿斜坡CD繼續(xù)前進到達點D處,已知DC=BC.在點D處用測角儀測得塔頂A的仰角為42°(點A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)).其中測角儀及其支架DE高度約為0.5米,斜坡CD的坡度(或坡比)i=1:2.4,那么文峰塔的高度AB約為( )(sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
A. 22.5 米 B. 24.0 米 C. 28.0 米 D. 33.3 米
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【題目】如圖(1),一架云梯AB斜靠在一豎直的墻上,云梯的頂端A距地面15米,梯子的長度比梯子底端B離墻的距離大5米.
(1)這個云梯的底端B離墻多遠?
(2)如圖(2),如果梯子的頂端下滑了8m(AC的長),那么梯子的底部在水平方向右滑動了多少米?
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【題目】為了樹立文明鄉(xiāng)風,推進社會主義新農(nóng)村建設,某村決定組建村民文體團隊,現(xiàn)圍繞“你最喜歡的文體活動項目(每人僅限一項)”,在全村范圍內(nèi)隨機抽取部分村民進行問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)這次參與調(diào)查的村民人數(shù)為 人;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)求扇形統(tǒng)計圖中“劃龍舟”所在扇形的圓心角的度數(shù);
(4)若在“廣場舞、腰鼓、花鼓戲、劃龍舟”這四個項目中任選兩項組隊參加端午節(jié)慶典活動,請用列表或畫樹狀圖的方法,求恰好選中“花鼓戲、劃龍舟”這兩個項目的概率.
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【題目】已知拋物線F:y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標原點O,且與x軸另一交點為(﹣,0).
(1)求拋物線F的解析式;
(2)如圖1,直線l:y=x+m(m>0)與拋物線F相交于點A(x1,y1)和點B(x2,y2)(點A在第二象限),求y2﹣y1的值(用含m的式子表示);
(3)在(2)中,若m=,設點A′是點A關(guān)于原點O的對稱點,如圖2.
①判斷△AA′B的形狀,并說明理由;
②平面內(nèi)是否存在點P,使得以點A、B、A′、P為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖1,將等腰△ABC沿對稱軸折疊后,得到△ADC(△ADB),若,則稱等腰△ABC為“長月三角形”ABC.
(1)結(jié)合題目情境,請你判斷“長月三角形”一定會是______三角形.
(2)如圖2,C為線段AB上一點,分別以AC和BC為邊作“長月三角形”ACD和“長月三角形”BCE,連接AE、BD交于點O,AE與CD交于點P,CE與BD交于點M.
①求證:;
②求的度數(shù).
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【題目】如圖,在等邊中,邊長為.點從點出發(fā),沿方向運動,速度為;同時點從點出發(fā),沿方向運動,速度為,當兩個點有一個點到達終點時,另一個點隨之停止運動.設運動時間為,解答下列問題:
(1)當時,_______(用含的代數(shù)式表示);
(2)當時,求的值,并直接寫出此時為什么特殊的三角形?
(3)當,且時,求的值.
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