Question

【題目】如圖，直角坐標系中，拋物線y＝a（x﹣4）2﹣16（a＞0）交x軸于點E，F（E在F的左邊），交y軸于點C，對稱軸MN交x軸于點H；直線y＝x+b分別交x，y軸于點A，B．

（1）寫出該拋物線頂點D的坐標及點C的縱坐標（用含a的代數式表示）．

（2）若AF＝AH＝OH，求證：∠CEO＝∠ABO．

（3）當b＞﹣4時，以AB為邊作正方形，使正方形的另外兩個頂點一個落在拋物線上，一個落在拋物線的對稱軸上，求所有滿足條件的a及相應b的值．（直接寫出答案即可）

Answer 1

【答案】（1）D（4，﹣16），點C的縱坐標為16a﹣16；（2）見解析；（3）a＝，b＝﹣2或a＝，b＝﹣1或a＝，b＝4．

【解析】

（1）從拋物線的頂點式就可以知道拋物線的頂點坐標，點C的縱坐標令x=0即可．

（2）求證兩個角相等，可以證這兩個角的三角函數相等．

（3）分情況討論，利用全等三角形找到線段之間的數量關系，表示點坐標，代入解析式即可求出a、b．

（1）∵拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣16，

∴拋物線的頂點D的坐標為（4，﹣16），

當x=0時，y=16a﹣16，

∴點C的縱坐標為16a﹣16．

（2）∵D（4，﹣16），

∴OH=4．

∵AF=AH=OH，EH=HF，

∴F（12，0），A（8，0），E（﹣4，0），

將點F代入拋物線解析式得：

∴0=a（12﹣4）2﹣16，a，

將點A代入直線解析式得：8+b=0，b，

將a代入點C的縱坐標得：∴16a﹣16=﹣12，

∴C（0，﹣12），OC=12，tan∠CEO3，tan∠OBA3，

∴∠CEO=∠ABO．

（3）分三種情況討論：

①如圖所示．

∵yx+b，當x=0時，y=b，

∴B（0，b），

過點E作EG垂直于NF，設對稱軸與x軸的交點為M，BG與y軸的交點為點H．

∵四邊形EFAB為正方形，可知△EFG≌△ABO（AAS），△FMA≌△ABO（AAS），∴OB=AM=FG=﹣b．

∵拋物線的對稱軸為直線x=4，

∴OA=FM=EG=4﹣b，

∴A（4﹣b，0），E（b，4），

將點A代入直線解析式得：0（4﹣b）+b，解得：b=﹣2，

∴E（﹣2，4），

∴4=a（﹣2﹣4）2﹣16，

解得：a．故a，b=﹣2．

②如圖所示．

△OBA≌△AFG（AAS），△OBA≌△BEQ（AAS），

∴OB=EQ=AG=﹣b，

∴OA=FG=BQ=4+b，

∴A（4+b，0），E（﹣b，﹣4），

將點A代入直線解析式得：0（4+b）+b，解得：b=﹣1，

∴E（1，﹣4），將點E（1，﹣4）代入拋物線解析式得：﹣4=a（1﹣4）2﹣16，

解得：a．故a，b=﹣1．

③如圖所示．

△ABO≌△EAG（AAS），△ABO≌△FBH（AAS），

∴OB=BH=AG=4，

∴b=4，

∴OA=12，EG=12，

∴E（﹣8，﹣12），

代入拋物線解析式得：﹣12=a（﹣8﹣4）2﹣16，解得：a．

故a，b=4．

綜上所述：a，b=﹣2或a，b=﹣1或a，b=4．