Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+1交y軸于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)A，拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與直線y=﹣x+1交于點(diǎn)C（4，﹣2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)M在直線BC上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)M作ME∥y軸交直線BC于點(diǎn)E，以ME為直徑的圓交直線BC于另一點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時(shí)，求△DEM的周長(zhǎng)．

（3）將△AOB繞坐標(biāo)平面內(nèi)的某一點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，得到△A1O1B1，點(diǎn)A，O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1，O1，B1，若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A1的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+1；（2）（3）（， ）或（﹣， ）

【解析】分析：(1)根據(jù)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，作待定系數(shù)法求拋物線的解析式；(2)畫(huà)出當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時(shí)的圖形，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的位置，即可求出ME的長(zhǎng)，解直角△DEM，求得DE，DM；(3)設(shè)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x＋1，由△A1O1B1中點(diǎn)的位置關(guān)系，分兩種情況討論，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)在拋物線上的位置列方程求解.

詳解：(1)∵直線y＝﹣x＋1交y軸于點(diǎn)B，∴B(0，1)，

∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C(4，﹣2)．

∴，解得，

∴拋物線的解析式為：y＝－x2＋x＋1；

(2)如圖1，∵直線y＝x＋1交x軸于點(diǎn)A，

當(dāng)y＝0時(shí)， x＋1＝0，解得x＝，∴A(，0)，∴OA＝，

在Rt△AOB中，∵OB＝1，∴AB＝，

∴sin∠ABO＝，cos∠ABO＝，

∵ME∥x軸，∴∠DEM＝∠ABO，

∵以ME為直徑的圓交直線BC于另一點(diǎn)D，∴∠EDM＝90°，

∴DE＝MEcos∠DEM＝ME，DM＝MEsin∠DEM＝ME，

當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時(shí)，E和A重合，則m＝OA＝，

當(dāng)x＝時(shí)，y＝，∴ME＝，

∴DE＝，DM＝，

∴△DEM的周長(zhǎng)＝DE＋DM＋ME＝；

(3)由旋轉(zhuǎn)可知：O1A1⊥x軸，O1B1⊥y軸，設(shè)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x＋1，

∵O1A1⊥x軸，∴點(diǎn)O1，A1不可能同時(shí)落在拋物線上，分以下兩種情況：

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O1，B1同時(shí)落在拋物線上時(shí)，

點(diǎn)O1，B1的縱坐標(biāo)相等，

∴，解得：x＝，

此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(， )，

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)A1，B1同時(shí)落在拋物線上時(shí)，

點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)比點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)大，

，

解得：x＝，

此時(shí)A1(， )，

綜上所述，點(diǎn)A1(， )或(， )．