【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c與⊙M相交于A、B、C、D四點,其中A、B兩點的坐標分別為(﹣1,0),(0,﹣2),點D在x軸上且AD為⊙M的直徑.點E是⊙M與y軸的另一個交點,過劣弧 上的點F作FH⊥AD于點H,且FH=1.5
(1)求點D的坐標及該拋物線的表達式;
(2)若點P是x軸上的一個動點,試求出△PEF的周長最小時點P的坐標;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使△QCM是等腰三角形?如果存在,請直接寫出點Q的坐標;如果不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:連接BD,
∵AD是⊙M的直徑,∴∠ABD=90°
∴△AOB∽△ABD,
∴ = ,
在Rt△AOB中,AO=1,BO=2,
根據(jù)勾股定理得:AB= ,
∴ ,
∴AD=5,
∴DO=AD﹣AO=5﹣1=4,
∴D(4,0),
把點A(﹣1,0)、B(0,﹣2)、D(4,0)代入y=ax2+bx+c可得:
,
解得: ,
∴拋物線表達式為:
(2)
解:連接FM,
在Rt△FHM中,F(xiàn)M= ,F(xiàn)H= ,
∴MH= =2,
OM=AM﹣OA= ﹣1= ,
∴OH=OM+MH= +2= ,
∴F( , ),
設直線BF的解析式為y=kx+b,
則: ,
∴直線BF的解析式為:y=x﹣2,
連接BF交x軸于點P,∵點E與點B關于x軸對稱,
∴點P即為所求,
當y=0時,x=2,
∴P(2,0)
(3)
解:如圖,CM=
拋物線 的對稱軸為直線x= ,
∵OM= ,∴點M在直線x= 上,
根據(jù)圓的對稱性可知,點C與點B關于直線x= 對稱,
∴點C(3,﹣2),
①當CM=MQ= 時,點Q可能在x軸上方,也可能在x軸下方,
∴Q1( , ),Q2( , ),
②當CM=CQ時,過點C作CN⊥MQ,
∴MN=NQ=2,∴MQ=4,
∴Q3( ,﹣4),
③當CQ4=MQ4時,過點C作CR⊥MQ,Q4V⊥CM,
則:MV=CV= ,Q4V= ,
Rt△CRM∽Rt△Q4VM,
∴ ,
解得:MQ4= ,
∴Q4( ,﹣ )
綜上可知,存在四個點,即:
Q1( , ),Q2( , ),Q3( ,﹣4),Q4( ,﹣ )
【解析】(1)首先根據(jù)圓的軸對稱性求出點D的坐標,將A、B、D三點代入,即可求出本題的答案;(2)由于點E與點B 關于x軸對稱,所以,連接BF,直線BF與x軸的交點,即為點P,據(jù)此即可得解;(3)從CM=MQ,CM=CQ,MQ=CQ三個方面進行分析,據(jù)此即可得解.
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.
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【題目】如圖,銳角△ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點,△ADC≌△ADC',△AEB≌△AEB',且C'D∥EB'∥BC,記BE,CD交于點F,若∠BAC=x°,則∠BFC的大小是_____°.(用含x的式子表示)
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【題目】計算:
(1)(﹣2x3y)2(﹣2xy)+(﹣2x3y)3÷2x2
(2)20202﹣2019×2021
(3)(﹣2a+b+1)(2a+b﹣1)
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【題目】根據(jù)下列數(shù)量關系列不等式:
(1)a與1的和是正數(shù) ;
(2)a的和b的的差是負數(shù) ;
(3)a與b的兩數(shù)和的平方不大于9 ;
(4)a的倍與b的和的平方是非負數(shù) .
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,AE和過點C的切線互相垂直,垂足為E,AE交⊙O于點D,直線EC交AB的延長線于點P,連接AC,BC,PB:PC=1:2.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)探究線段PB,AB之間的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)若AD=3,求△ABC的面積.
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【題目】已知,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=3,BC=10,AD=5,M是BC邊上的任意一點,聯(lián)結DM,聯(lián)結AM.
(1)若AM平分∠BMD,求BM的長;
(2)過點A作AE⊥DM,交DM所在直線于點E.
①設BM=x,AE=y求y關于x的函數(shù)關系式;
②聯(lián)結BE,當△ABE是以AE為腰的等腰三角形時,請直接寫出BM的長.
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【題目】小明從家到圖書館看報然后返回,他離家的距離y與離家的時間x之間的對應關系如圖所示,如果小明在圖書館看報30分鐘,那么他離家50分鐘時離家的距離為 km.
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【題目】小玲和弟弟小東分別從家和圖書館同時出發(fā),沿同一條路相向而行,小玲跑步中途改為步行,到達圖書館恰好用30 min.小東騎自行車以300 m/min的速度直接回家.兩人離家的路程y(m)與各自離開出發(fā)地的時間x(min)之間的函數(shù)圖象如圖9所示.
(1)家與圖書館之間的路程為 m,小玲步行的速度為 m/min;
(2)求小東離家的路程y關于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)求兩人相遇的時間.
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【題目】如圖,下列條件中,不能證明△ABD≌△ACD的是( )
A. AB=AC,BD=CD B. ∠B=∠C,BD=CD
C. ∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D. ∠ADB=∠ADC,DB=DC
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