Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，已知對角線AC、BD相交于點O，若E、F是AC上兩動點，分別從A、C兩點以相同的速度1cm/s向點O運動．
（1）當E與F不重合時，四邊形DEBF是否是平行四邊形？請說明理由；
（2）若AC=16cm，BD=12cm，點E，F在運動過程中，四邊形DEBF能否為矩形？如能，求出此時的運動時間t的值，如不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當E與F不重合時，四邊形DEBF是平行四邊形

理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD；

∵E、F兩動點，分別從A、C兩點以相同的速度向C、A運動，

∴AE=CF；

∴OE=OF；

∴BD、EF互相平分；

∴四邊形DEBF是平行四邊形

（2）解：∵四邊形DEBF是平行四邊形，

∴當BD=EF時，四邊形DEBF是矩形；

∵BD=12cm，

∴EF=12cm；

∴OE=OF=6cm；

∵AC=16cm；

∴OA=OC=8cm；

∴AE=2cm或AE=14cm；

由于動點的速度都是1cm/s，

所以t=2（s）或t=14（s）；

故當運動時間t=2s或14s時，以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形．

【解析】（1）判斷四邊形DEBF是否為平行四邊形，需證明其對角線是否互相平分；已知了四邊形ABCD是平行四邊形，故OB=OD；而E、F速度相同，方向相反，故OE=OF；由此可證得BD、EF互相平分，即四邊形DEBF是平行四邊形；（2）若以D、E、B、F為頂點的四邊形是矩形，則必有BD=EF，可據此求出時間t的值．
【考點精析】掌握平行四邊形的判定與性質和矩形的判定方法是解答本題的根本，需要知道若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．