【題目】如圖,已知菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°.E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是CD邊上一動(dòng)點(diǎn),且BE=CF,連接AE、AF.
(1)∠EAF的度數(shù)是;
(2)求證:AE=AF;
(3)延長(zhǎng)AF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接EF,設(shè)BE=x,EF2=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】
(1)60°
(2)
證明:由(1)證得△ABE≌△ACF,
∴AE=AF
(3)
解:由(2)得AE=AF,△ABE≌△ACF,
∴∠CAF=∠BAE,
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°,
∴△AEF是等邊三角形,
∴∠AFE=60°,
∴∠EFG=180﹣∠AFE=120°,
∵∠BCD=120°=∠EFG,∠CEF=∠FEG,
∴△ECF∽△EFG,
∴ ,∴EF2=ECEG,
∵AB∥CD,∴ ,
∴ ,
∴CG= ,
∴EG=CE+CG=6﹣x+ ,
∵EF2=ECEG,
∴y=(6﹣x)(6﹣x+ )=x2﹣6x+36.
【解析】(1)解:如圖1,連接AC,
在菱形ABCD中,
∵AB=BC=6,
∵∠B=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=60°,
∴∠ACF=60°,
在△ABE與△ACF中, ,
∴△ABE≌△ACF,
∴∠CAF=∠BAE,
∵∠BAE+∠CAE=60°,
∴∠CAF+∠CAE=60°,
∴∠EAF=60°,
所以答案是:60°;
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解全等三角形的性質(zhì)(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等),還要掌握菱形的性質(zhì)(菱形的四條邊都相等;菱形的對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】通過(guò)類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達(dá)到解一題知一類的目的.下面是一個(gè)案例,請(qǐng)補(bǔ)充完整.
原題:如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,
連接EF,則EF=BE+DF,試說(shuō)明理由.
(1)思路梳理
∵AB=AD
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合
∵∠ADC=∠B=90°
∴∠FDG=180°
∴點(diǎn)F、D、G共線
根據(jù) ,易證△AFG≌ ,進(jìn)而得EF=BE+DF.
(2)聯(lián)想拓展
如圖2,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系,并寫出推理過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(1),已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是AC上一點(diǎn),連接EB,過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE,垂足為M,AM交BD于點(diǎn)F.
(1)求證:OE=OF;
(2)如圖(2),若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上,AM⊥BE于點(diǎn)M,交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,其他條件不變,則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎?如果成立,請(qǐng)給出證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+8與x軸、y軸分別交于A.B兩點(diǎn),點(diǎn)M是OB上一點(diǎn),若直線AB沿AM折疊,點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)C處,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是( )
A. (0,4) B. (0,3) C. (﹣4,0) D. (0,﹣3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,C,D是線段AB上的兩點(diǎn),已知AC:CD:DB=1:2:3,MN分別是AC,BD的中點(diǎn),且AB=36cm,求線段MN的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知A是雙曲線y= (x>0)上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸,交雙曲線y=﹣ (x<0)于點(diǎn)B,若OA⊥OB,則 的值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,C在D的右側(cè),BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在直線交于點(diǎn)E,∠ADC=70°.
(1)求∠EDC的度數(shù);
(2)若∠ABC=n°,求∠BED的度數(shù)(用含n的代數(shù)式表示);
(3)將線段BC沿DC方向平移,使得點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),其他條件不變,畫出圖形并判斷∠BED的度數(shù)是否改變,若改變,求出它的度數(shù)(用含n的式子表示);若不改變,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,DA平分∠BDC,∠A=∠C.
(1)試說(shuō)明:CE∥AD;
(2)若∠C=30°,求∠B的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2﹣4x與x軸交于點(diǎn)O,A,頂點(diǎn)為B,連接AB并延長(zhǎng),交y軸于點(diǎn)C,則圖中陰影部分的面積和為( )
A.4
B.8
C.16
D.32
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