Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線經(jīng)過點N（2,－5），過點N作x軸的平行線交此拋物線左側于點M，MN=6.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P（x,y）為此拋物線上一動點，連接MP交此拋物線的對稱軸于點D，當△DMN為直角三角形時，求點P的坐標；

（3）設此拋物線與y軸交于點C，在此拋物線上是否存在點Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

 

【解析】（1）把點M、N的坐標點入拋物線，即可求得，a,b

（2）由△DMN為直角三角形，求出點D的坐標，然后求出直線MD的解析式，即可求得點P的坐標

（3）逆向思維，設存在點Q進行解答

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵過點M、N（2，－5），，

由題意，得M（，）.

∴ 

解得 

∴此拋物線的解析式為. …………………………………2分

（2）設拋物線的對稱軸交MN于點G，

若△DMN為直角三角形，則.

∴D₁（，），（，）. ………………………………………4分

 

直線MD₁為，直線為.

將P（x，）分別代入直線MD₁，

的解析式，

得①，②.

解①得 ，（舍），

∴（1,0）.  …………………………………5分

解②得 ，（舍），

∴（3,－12）.  ……………………………6分

（3）設存在點Q（x，），

使得∠QMN=∠CNM.

① 若點Q在MN上方，過點Q作QH⊥MN，

交MN于點H，則.

即.                                     

解得，（舍）.

∴（，3）. ……………………………7分

② 若點Q在MN下方，

同理可得（6，）.  …………………8分