Question

文昌某校準(zhǔn)備組織學(xué)生及學(xué)生家長到三亞進行社會實踐，為了便于管理，所有人員必須乘坐在同一列火車上；根據(jù)報名人數(shù)，若都買一等座單程火車票需17010元，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則需11220元；已知學(xué)生家長與教師的人數(shù)之比為2：1，文昌到三亞的火車票價格（部分）如下表所示：

運行區(qū)間	公布票價	學(xué)生票
上車站	下車站	一等座	二等座	二等座
文昌	三亞	81（元）	68（元）	51（元）

（1）參加社會實踐的老師、家長與學(xué)生各有多少人？
（2）由于各種原因，二等座火車票單程只能買x張（x小于參加社會實踐的人數(shù)），其余的須買一等座火車票，在保證每位參與人員都有座位坐的前提下，請你設(shè)計最經(jīng)濟的購票方案，并寫出購買火車票的總費用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）請你做一個預(yù)算，按第（2）小題中的購票方案，購買一個單程火車票至少要花多少錢？最多要花多少錢？

Answer 1

分析：（1）設(shè)參加社會實踐的老師有m人，學(xué)生有n人，則學(xué)生家長有2m人，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則全體學(xué)生都需買二等座學(xué)生票，根據(jù)題意得到方程組

81(3m+n)=17010 68×3m+51n=11220

，求出方程組的解即可；
（2）有兩種情況：①當(dāng)180≤x＜210時，學(xué)生都買學(xué)生票共180張，（x-180）名成年人買二等座火車票，（210-x）名成年人買一等座火車票，得到解析式：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），②當(dāng)0＜x＜180時，一部分學(xué)生買學(xué)生票共x張，其余的學(xué)生與家長老師一起購買一等座火車票共（210-x）張，得到解析式是y=-30x+17010；
（3）由（2）小題知，當(dāng)180≤x＜210時，y=-13x+13950和當(dāng)0＜x＜180時，y=-30x+17010，分別討論即可．

解答：解：（1）設(shè)參加社會實踐的老師有m人，學(xué)生有n人，則學(xué)生家長有2m人，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則全體學(xué)生都需買二等座學(xué)生票，依題意得：

81(3m+n)=17010 68×3m+51n=11220

，
解得

m=10 n=180

，
則2m=20，
答：參加社會實踐的老師、家長與學(xué)生分別有10人、20人、180人．

（2）解：由（1）知所有參與人員總共有210人，其中學(xué)生有180人，
①當(dāng)180≤x＜210時，最經(jīng)濟的購票方案為：
學(xué)生都買學(xué)生票共180張，（x-180）名成年人買二等座火車票，（210-x）名成年人買一等座火車票．
∴火車票的總費用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），
即y=-13x+13950（180≤x＜210），
②當(dāng)0＜x＜180時，最經(jīng)濟的購票方案為：
一部分學(xué)生買學(xué)生票共x張，其余的學(xué)生與家長老師一起購買一等座火車票共（210-x）張，
∴火車票的總費用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=51x+81（210-x），
即y=-30x+17010（0＜x＜180），
答：購買火車票的總費用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-13x+13950（180≤x＜210）或y=-30x+17010（0＜x＜180）．

（3）由（2）小題知，當(dāng)180≤x＜210時，y=-13x+13950，
∵-13＜0，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=209時，y的值最小，最小值為11233元，
當(dāng)x=180時，y的值最大，最大值為11610元．
當(dāng)0＜x＜180時，y=-30x+17010，
∵-30＜0，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=179時，y的值最小，最小值為11640元，
當(dāng)x=1時，y的值最大，最大值為16980元．
所以可以判斷按（2）小題中的購票方案，購買一個單程火車票至少要花11233元，最多要花16980元，
答：按（2）小題中的購票方案，購買一個單程火車票至少要花11233元，最多要花16980元．

點評：本題主要考查對一次函數(shù)，二元一次方程組，一元一次不等式等知識點的理解和掌握，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．