【題目】(1)閱讀理解
利用旋轉變換解決數(shù)學問題是一種常用的方法.如圖,點是等邊三角形內一點,,,.求的度數(shù).
為利用已知條件,不妨把繞點順時針旋轉得,連接,則的長為_______;在中,易證,且的度數(shù)為________,綜上可得的度數(shù)為_______;
(2)類比遷移
如圖,點是等腰內的一點,,,,.求的度數(shù);
(3)拓展應用
如圖,在四邊形中,,,,,請直接寫出的長.
【答案】(1)2, 30°,90°;(2)90°;(3)2.
【解析】
(1)由旋轉性質、等邊三角形的判定可知△CP′P是等邊三角形,由等邊三角形的性質知∠CP′P=60°,根據(jù)勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形,繼而可得答案.
(2)如圖2,把△BPC繞點C順時針旋轉90°得△AP'C,連接PP′,同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是等腰直角三角形,所以∠APC=90°;
(3)如圖3,將△ABD繞點A逆時針旋轉得到△ACG,連接DG.則BD=CG,根據(jù)勾股定理求CG的長,就可以得BD的長.
(1)把△BPC繞點C順時針旋轉60°得△AP'C,連接PP′(如圖1).
由旋轉的性質知△CP′P是等邊三角形;
∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2,
在△AP′P中,∵AP2+P′A2=12+()2=4=PP′2;
∴△AP′P是直角三角形;
∴∠P′AP=90°.
∵PA=PC,
∴∠AP′P=30°;
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°.
(2)如圖2,把△BPC繞點C順時針旋轉90°得△AP'C,連接PP′.
由旋轉的性質知△CP′P是等腰直角三角形;
∴P′C=PC=1,∠CPP′=45°、P′P=,PB=AP'=,
在△AP′P中,∵AP'2+P′P2=()2+()2=4=AP2;
∴△AP′P是等腰直角三角形;
∴∠AP′P=90°.
∴∠APP'=45°
∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
(3)如圖3,
∵AB=AC,
將△ABD繞點A逆時針旋轉得到△ACG,連接DG.則BD=CG,
∵∠BAD=∠CAG,
∴∠BAC=∠DAG,
∵AB=AC,AD=AG,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,
∴△ABC∽△ADG,
∵AD=2AB,
∴DG=2BC=10,
過A作AE⊥BC于E,
∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,
∴∠ADG+∠ADC=90°,
∴∠GDC=90°,
∴CG=,
∴BD=CG=2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某水果批發(fā)商場經銷一種高檔水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.經市場調查發(fā)現(xiàn),在進貨價不變的情況下,若每千克漲價1元,日銷售量將減少20千克.
(1)現(xiàn)該商場要保證每天盈利6 000元,同時又要顧客得到實惠,那么每千克應漲價多少元?
(2)若該商場單純從經濟角度看,每千克這種水果漲價多少元,能使商場獲利最多?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著信息技術的迅猛發(fā)展,人們去商場購物的支付方式更加多樣、便捷.某校數(shù)學興趣小組設計了一份調查問卷,要求每人選且只選一種你最喜歡的支付方式.現(xiàn)將調查結果進行統(tǒng)計并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結合圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次活動共調查了 人;在扇形統(tǒng)計圖中,表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整.觀察此圖,支付方式的“眾數(shù)”是“ ”;
(3)在一次購物中,小明和小亮都想從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進行支付,請用畫樹狀圖或列表格的方法,求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.
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【題目】某學校為了了解九年級學生寒假的閱讀情況,隨機抽取了該年級的部分學生進行調查,統(tǒng)計了他們每人的閱讀本數(shù),設每名學生的閱讀本數(shù)為n,并按以下規(guī)定分為四檔:當n<3時,為“偏少”;當3≤n<5時,為“一般”;當5≤n<8時,為“良好”;當n≥8時,為“優(yōu)秀”.將調查結果統(tǒng)計后繪制成不完整的統(tǒng)計圖表:
閱讀本數(shù)n(本) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
人數(shù)(名) | 1 | 2 | 6 | 7 | 12 | x | 7 | y | 1 |
請根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)分別求出統(tǒng)計表中的x,y的值;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中“優(yōu)秀”類所在扇形的圓心角的度數(shù);
(3)如果隨機去掉一個數(shù)據(jù),求眾數(shù)發(fā)生變化的概率,并指出眾數(shù)變化時,去掉的是哪個數(shù)據(jù).
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長是2,點E是CD邊的中點,點F是邊BC上不與點B,C重合的一個動點,把∠C沿直線EF折疊,使點C落在點C′處.當△ADC′為等腰三角形時,FC的長為_____.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD放置在平面直角坐標系xOy中,已知A(-2,0),B(2,0),D(0,3),反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經過點C.
(1)求此反比例函數(shù)的解析式;
(2)問將平行四邊形ABCD向上平移多少個單位,能使點B落在雙曲線上?
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【題目】如圖,⊙O的半徑是2,弦AB=,點C為是優(yōu)弧AB上一個動點,BD⊥BC交直線AC于點D,則△ABD的面積的最大值為___________ .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】重慶某中學組織七、八、九年級學生參加“直轄20年,點贊新重慶”作文比賽,該校將收到的參賽作文進行分年級統(tǒng)計,繪制了如圖1和如圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖,根據(jù)圖中提供的信息完成以下問題.
(1)扇形統(tǒng)計圖中九年級參賽作文篇數(shù)對應的圓心角是 度,并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)經過評審,全校有4篇作文榮獲特等獎,其中有一篇來自七年級,學校準備從特等獎作文中任選兩篇刊登在?,請利用畫樹狀圖或列表的方法求出七年級特等獎作文被選登在?系母怕剩
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線AB經過⊙O上的點C,且OA=OB,CA=CB.
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)若∠A=30°,AC=6,求⊙O的周長;
(3)在(2)的條件下,求陰影部分的面積.
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