Question

（本題12分）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（－2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連結(jié)BC、AC，該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式、點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線BC的函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)Q在線段BC上，使得以點(diǎn)Q、D、B為頂點(diǎn)的三角形與△相似，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若存在點(diǎn)Q，請(qǐng)任選一個(gè)Q點(diǎn)求出△外接圓圓心的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）D（1，0）（2）Q（2，）或（，）（3）M（，）

試題分析：解：（1）由題意，設(shè)二次函數(shù)為
把點(diǎn)C（0，3）代入得：
所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式是　……2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408230225425431230.png" style="vertical-align:middle;" />，所以拋物線的對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）．　…………1分
由待定系數(shù)法得直線BC的解析式為．　………… 1分
（2）因?yàn)锳（－2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0）．
所以O(shè)D=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，BC==5.

① 如圖1，當(dāng)時(shí)，,即,得.
過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)H，則QH∥CO.所以.解得.
把代入，得．
所以，此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）．　…………　2分
②如圖2，當(dāng)時(shí)，,即,得．
過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)G，則QG∥CO.所以.解得．
把代入，得．
所以，此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．…………2分
綜上所述，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，）或（，）．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）時(shí)，設(shè)圓心的M（，）．
由MD=MQ，得.
解得，則M（，）．　………… 4分
點(diǎn)評(píng)：此類試題屬于難度一般的試題，考生在解答此類試題時(shí)一定要對(duì)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式熟練把握和運(yùn)用