【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).
(Ⅰ)求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(Ⅱ)當(dāng)a<0時(shí),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l:y=kx+a與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,點(diǎn)E是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線l上方.
①若△ACE的面積的最大值為,求a的值;
②設(shè)P是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線上,當(dāng)以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成矩形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ)A(﹣1,0),B(3,0);(Ⅱ)①﹣;②P1(1,﹣4),P2(1,﹣).
【解析】
(Ⅰ)令y=0,則ax2﹣2ax﹣3a=0,可求點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(Ⅱ)①先求直線l的解析式,點(diǎn)E(m,am2﹣2am﹣3a),求出直線AE解析式,由三角形的面積公式可求△ACE的面積=×(m﹣)2﹣a,即可求解;
②分以AD為邊或?qū)蔷兩種情況討論即可.
解:(Ⅰ)令y=0,則ax2﹣2ax﹣3a=0,
解得x1=﹣1,x2=3
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),
∴A(﹣1,0),B(3,0)
(Ⅱ)①∵直線l:y=kx+a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,
∴0=﹣k+a,
∴k=a,
∴直線l:y=ax+a,
如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EN⊥y軸,垂足為N,設(shè)AE與y軸的交點(diǎn)為M,
設(shè)點(diǎn)E(m,am2﹣2am﹣3a),yAE=k1x+b,
則,
解得:,
∴yAE=(am﹣3a)x+am﹣3a,M(0,am﹣3a)
∵M(jìn)C=am﹣3a﹣a=am﹣4a,NE=m
∴S△ACE=S△ACM+S△CEM= [am﹣4a]×1+ [am﹣4a]m=×(m﹣)2﹣a,
∵a<0,
∴最大值﹣a=,
∴a=﹣;
②令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a,即ax2﹣3ax﹣4a=0,
解得x1=﹣1,x2=4,
∴D(4,5a),
∵y=ax2﹣2ax﹣3a,
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,
設(shè)P1(1,m),
如圖2,若AD是矩形的一條邊,
由AQ∥DP知xD﹣xP=xA﹣xQ,可知Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣4,將x=﹣4代入拋物線方程得Q(﹣4,21a),
m=yD+yQ=21a+5a=26a,則P(1,26a),
∵四邊形ADPQ為矩形,∴∠ADP=90°,
∴AD2+PD2=AP2,
∵AD2=[4﹣(﹣1)]2+(5a)2=52+(5a)2,
PD2=(1﹣4)2+(26a﹣5a)2=32+(21a)2,
∴[4﹣(﹣1)]2+(5a)2+(1﹣4)2+(26a﹣5a)2=(﹣1﹣1)2+(26a)2,
即a2=,
∵a<0,
∴a=﹣,
∴P1(1,﹣).
如圖3,若AD是矩形的一條對(duì)角線,
則線段AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),Q(2,﹣3a),
m=5a﹣(﹣3a)=8a,則P(1,8a),
∵四邊形AQDP為矩形,∴∠APD=90°,
∴AP2+PD2=AD2,
∵AP2=[1﹣(﹣1)]2+(8a)2=22+(8a)2,
PD2=(4﹣1)2+(8a﹣5a)2=32+(3a)2,
AD2=[4﹣(﹣1)]2+(5a)2=52+(5a)2,
∴22+(8a)2+32+(3a)2=52+(5a)2,
解得a2=,
∵a<0,
∴a=﹣,
∴P2(1,﹣4).
綜上可得,P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(1,﹣4),P2(1,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,D為的中點(diǎn),連接OD交弦AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)連接CD,若OA=AE=4,求四邊形ACDE的面積.
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【題目】麗水苛公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運(yùn)往杭州市場(chǎng)進(jìn)行銷(xiāo)售.記汽車(chē)行駛時(shí)間為t小時(shí),平均速度為v千米/小時(shí)(汽車(chē)行駛速度不超過(guò)100千米/小時(shí)).根據(jù)經(jīng)驗(yàn),v,t的一組對(duì)應(yīng)值如下表:
v(千米/小時(shí)) | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
t(小時(shí)) | 4.00 | 3.75 | 3.53 | 3.33 | 3.16 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出平均速度v(千米/小時(shí))關(guān)于行駛時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)表達(dá)式;
(2)汽車(chē)上午7:30從麗水出發(fā),能否在上午10:00之前到達(dá)杭州市?請(qǐng)說(shuō)明理由:
(3)若汽車(chē)到達(dá)杭州市場(chǎng)的行駛時(shí)間t滿足3.5≤t≤4,求平均速度v的取值范圍.
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【題目】為了解我市居民用水情況,在某小區(qū)隨機(jī)抽查了20戶家庭,并將這些家庭的月用水量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
月用水量(噸) | 4 | 5 | 6 | 8 | 13 |
戶數(shù) | 4 | 5 | 7 | 3 | 1 |
則關(guān)于這20戶家庭的月用水量,下列說(shuō)法正確的是( 。
A.中位數(shù)是5B.平均數(shù)是5C.眾數(shù)是6D.方差是6
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【題目】知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象如圖所示,有下列5個(gè)結(jié)論:①abc<0;②b2<4ac;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤a+b<m(am+b)(m≠1的實(shí)數(shù)),其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有( 。
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
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A.M是BC的中點(diǎn)B.FM=EH
C.CF⊥ADD.FM⊥BC
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(1)求 AB 的長(zhǎng);
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【題目】定義:如果一元二次方程滿足,那么我們稱(chēng)這個(gè)方程為“鳳凰”方程.已知是“鳳凰”方程,且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則下列結(jié)論正確的是 ( )
A. B. C. D.
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