Question

【題目】如圖所示，矩形OABC的鄰邊OA、OC分別與x、y軸重合，矩形OABC的對(duì)稱中心P(4，3)，點(diǎn)Q由O向A以每秒1個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M由C向B以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N由B向C以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)同時(shí)停止.

（1）根據(jù)題意，可得點(diǎn)B坐標(biāo)為_(kāi)_________，AC＝_________；

（2）求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△PCQ周長(zhǎng)最小?

（3）在點(diǎn)M、N、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使以點(diǎn)O、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若能，請(qǐng)求出t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）10 （2） （3）或

【解析】

（1）根據(jù)四邊形OABC為矩形，矩形OABC的對(duì)稱中心P(4，3)，即可得到B的坐標(biāo)，再結(jié)合勾股定理可得AC的長(zhǎng).

（2）首先根據(jù)題意可得△PCQ周長(zhǎng)等于CP、CQ、PQ的線段之和，而CP是定值，進(jìn)而只要CQ和PQ的和最小即可.

（3）假設(shè)能，設(shè)出t值，利用MN=OQ，計(jì)算出t值即可.

（1）根據(jù)四邊形OABC為矩形，矩形OABC的對(duì)稱中心P(4，3)

可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（8,6）

根據(jù)勾股定理可得

（2）設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△PCQ周長(zhǎng)最小

根據(jù)題意可得

要使△PCQ周長(zhǎng)最小，則必須CQ+PQ最短，過(guò)x軸作P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P’

所以可得C、P’、Q在一條直線上

C（0,6），（4，-3）

設(shè)直線方程為

即

因此，C所在的直線為

所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，0）

所以O(shè)Q=

因此t=

（3）根據(jù)題意要使點(diǎn)O、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

則OQ=MN

OQ=t

MN=8-2t-2t=8-4t或MN=2t+2t-8=4t-8

所以t=8-4t或t=4t-8

所以可得t=或t=