Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D是邊BC上一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E,F，△AEF∽△ABC．

（1）求證：△AED≌△AFD；
（2）若BC=2AD，求證：四邊形AEDF是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△AEF∽△ABC，

∴ = ，

∵AB=AC，

∴AE=AF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中，

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD

（2）證明：∵Rt△AED≌Rt△AFD，

∴∠EAD=∠FAD，

∵AB=AC，

∴AD⊥BC，BC=2BD，

∵BC=2AD，

∴BD=AD，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠B=∠BAD=45°，

∴∠BAC=2∠BAD=90°，

∵∠AED=∠AFD=90°，

∴四邊形AEDF是矩形，

∵AE=AF，

∴矩形AEDF是正方形

【解析】(1)由相似三角形得性質得AE=AF，然后由HL定理判斷出Rt△AED≌Rt△AFD；（2）由Rt△AED≌Rt△AFD得∠EAD=∠FAD，再由等腰三角形的三線合一得AD⊥BC，BC=2BD，由BC=2AD，得出∠B=∠BAD=45°，從而判斷四邊形AEDF是矩形，最后由一組鄰邊相等的矩形是正方形得出答案。
【考點精析】通過靈活運用正方形的判定方法和相似三角形的性質，掌握先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形即可以解答此題．