Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點M、N，在AC的延長線上取點P，使∠CBP＝∠A．

小題1:（1）判斷直線BP與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
小題2:（2）若⊙O的半徑為1，tan∠CBP＝0.5，求BC和BP的長．

Answer 1

小題1:⑴相切.
證明：連結AN，

∵AB是直徑，
∴∠ANB=90°.
∵AB=AC，
∴∠BAN=∠A=∠CBP.
又∵∠BAN+∠ABN=180°-∠ANB= 90°，
∴∠CBP+∠ABN=90°，即AB⊥BP.
∵AB是⊙O的直徑，
∴直線BP與⊙O相切.
小題2: ⑵∵在Rt△ABN中，AB=2，tan∠BAN= tan∠CBP=0.5，
可求得，BN=，∴BC=.        …………………………………………4分
作CD⊥BP于D，則CD∥AB，.
在Rt△BCD中，易求得CD=，BD=.     …………………………………5分
代入上式，得=.
∴CP=.                          …………………………………………6分
∴DP=.
∴BP=BD+DP=+=. 

略