Question

23、關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+c=0有實(shí)數(shù)根，且c為正整數(shù)．
（1）求c的值；
（2）若此方程的兩根均為整數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²-4x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且四邊形OBPC為直角梯形，求PC的長；
（3）將（2）中得到的拋物線沿水平方向平移，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），當(dāng)拋物線與（2）中的直角梯形OBPC只有兩個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)交點(diǎn)在PC邊上時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，那么根的判別式必大于等于0，可據(jù)此求出c的取值范圍，由于c為正整數(shù)，即可求出符合條件的c值．
（2）首先根據(jù)方程有兩個(gè)整數(shù)根以及拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，確定c的值，從而得到拋物線的解析式和對(duì)稱軸方程；由于四邊形OBPC是直角梯形，且CP∥OB，P在拋物線的對(duì)稱軸上，那么PC的長正好與拋物線對(duì)稱軸的值相同，由此得解．
（3）首先將（2）所得拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到此時(shí)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
①拋物線向左平移，可先設(shè)出平移后拋物線的解析式；當(dāng)點(diǎn)P位于拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的函數(shù)圖象上時(shí)，可將點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得平移的距離；當(dāng)點(diǎn)O位于拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的函數(shù)圖象上時(shí)，將點(diǎn)O的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，同樣能求出此時(shí)平移的距離；根據(jù)上面兩種情況所得的m值，即可得到m的取值范圍．
②拋物線向右平移，方法同①．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+c=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=16-4c≥0，∴c≤4．（1分）
又∵c為正整數(shù)，∴c=1，2，3，4．（2分）

（2）∵方程兩根均為整數(shù)，∴c=3，4；（3分）
又∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，∴c=3；
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3；（4分）
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2．
∵四邊形OBPC為直角梯形，且∠COB=90°，
∴PC∥BO，∵P點(diǎn)在對(duì)稱軸上，∴PC=2．（5分）

（3）由（2）知：y=x²-4x+3=（x-2）²-1；
①當(dāng)拋物線向左平移時(shí)，設(shè)平移后的拋物線解析式為：y=（x-2+k）²-1；
易知P（2，3），當(dāng)拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，則有：
（2-2+k）²-1=3，
解得k=2（負(fù)值舍去）；
即y=x²-1，此時(shí)m=0；
當(dāng)拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，則有：
（0-2+k）²-1=0，
解得k=1（舍去），k=3；
即y=（x-1）²-1，此時(shí)m=-1；
故當(dāng)拋物線向作平移時(shí)，-2＜m≤0（或-1≤m≤0）．
②當(dāng)拋物線向右平移時(shí)，同①可求得2＜m≤4；
綜上所述，-2＜m≤0或2＜m≤4．（7分）（寫對(duì)一個(gè)給1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根的判別式、直角梯形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定以及函數(shù)圖象的平移等知識(shí)．在（3）題中，拋物線向左或向右平移都有符合條件的m值，因此需要分類討論，以免漏解．