(2012•郴州)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(4,0),B(2,3),C(0,3)三點.
(1)求拋物線的解析式及對稱軸.
(2)在拋物線的對稱軸上找一點M,使得MA+MB的值最小,并求出點M的坐標.
(3)在拋物線上是否存在一點P,使得以點A、B、C、P四點為頂點所構(gòu)成的四邊形為梯形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)已知拋物線上三點A、B、C的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式,再由對稱軸公式x=-
b
2a
求出對稱軸;
(2)如答圖1所示,連接AC,則AC與對稱軸的交點即為所求之M點;已知點A、C的坐標,利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,進而求出點M的坐標;
(3)根據(jù)梯形定義確定點P,如圖2所示:
①若BC∥AP1,確定梯形ABCP1.此時P1為拋物線與x軸的另一個交點,解一元二次方程即可求得點P1的坐標;
②若AB∥CP2,確定梯形ABCP2.此時P2位于第四象限,先確定CP2與x軸交點N的坐標,然后求出直線CN的解析式,再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點P2的坐標.
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(4,0),B(2,3),C(0,3)三點,
16a+4b+c=0
4a+2b+c=3
c=3
,解得a=-
3
8
,b=
3
4
,c=3,
∴拋物線的解析式為:y=-
3
8
x2+
3
4
x+3;
其對稱軸為:x=-
b
2a
=1.

(2)由B(2,3),C(0,3),且對稱軸為x=1,
可知點B、C是關(guān)于對稱軸x=1的對稱點.
如答圖1所示,連接AC,交對稱軸x=1于點M,連接MB,
則MA+MB=MA+MC=AC,根據(jù)兩點之間線段最短可知此時MA+MB的值最。
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,∵A(4,0),C(0,3),
4k+b=0
b=3
,解得k=-
3
4
,b=3,
∴直線AC的解析式為:y=-
3
4
x+3,
令x=1,得y=
9
4

∴M點坐標為(1,
9
4
).

(3)結(jié)論:存在.
如答圖2所示,在拋物線上有兩個點P滿足題意:
①若BC∥AP1,此時梯形為ABCP1
由B(2,3),C(0,3),可知BC∥x軸,則x軸與拋物線的另一個交點P1即為所求.
拋物線解析式為:y=-
3
8
x2+
3
4
x+3,令y=0,解得x1=-2,x2=4,
∴P1(-2,0).
∵P1A=6,BC=2,
∴P1A≠BC,
∴四邊形ABCP1為梯形;
②若AB∥CP2,此時梯形為ABCP2
設(shè)CP2與x軸交于點N,
∵BC∥x軸,AB∥CP2
∴四邊形ABCN為平行四邊形,
∴AN=BC=2,
∴N(2,0).
設(shè)直線CN的解析式為y=kx+b,則有:
b=3
2k+b=0
,
解得k=-
3
2
,b=3,
∴直線CN的解析式為:y=-
3
2
x+3.
∵點P2既在直線CN:y=-
3
2
x+3上,
又在拋物線:y=-
3
8
x2+
3
4
x+3上,
-
3
2
x+3=-
3
8
x2+
3
4
x+3,化簡得:x2-6x=0,
解得x1=0(舍去),x2=6,
∴點P2橫坐標為6,代入直線CN解析式求得縱坐標為-6,∴P2(6,-6).
∵?ABCN,
∴AB=CN,而CP2≠CN,
∴CP2≠AB,
∴四邊形ABCP2為梯形.
綜上所述,在拋物線上存在一點P,使得以點A、B、C、P四點為頂點所構(gòu)成的四邊形為梯形;點P的坐標為(-2,0)或(6,-6).
點評:本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)(二次函數(shù)和一次函數(shù))的解析式、軸對稱-最短路線問題以及梯形的定義與應(yīng)用等知識點,屬于代數(shù)幾何綜合題,有一定的難度.第(3)問為存在型問題,注意P點不止一個,此處為易錯點.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•郴州)如圖是由5個相同的小正方體組成的立體圖形,它的俯視圖是( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•郴州)如圖,已知AB∥CD,∠1=60°,則∠2=
120
120
度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•郴州)如圖,D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點,連接DE,要使△ADE∽△ACB,還需添加一個條件
此題答案不唯一,如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD:AC=AE:AB或AD•AB=AE•AC等
此題答案不唯一,如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD:AC=AE:AB或AD•AB=AE•AC等
(只需寫一個).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•郴州)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC=6,BD=8,則這個菱形的邊長為
5
5

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案