【題目】如圖,在Rt△ABC 中,∠C=90°AB=15,BC=9,點P,Q分別在BC,AC上,CP=3x,CQ=4x0x3.把△PCQ繞點P旋轉(zhuǎn),得到△PDE,點D落在線段PQ上.

1)求證:PQ∥AB

2)若點DBAC的平分線上,求CP的長;

3)若△PDE△ABC重疊部分圖形的周長為T,且12≤T≤16,求x的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析(2)6(3)1≤x≤

【解析】試題分析:

1)由已知條件易證,結(jié)合C=C,可證PQC∽△BAC,,從而可得CPQ=B,就可得到PQAB
2)連接AD,由AD平分∠BACPQAB易證AQ=DQ,再用含“”的式子表達出AQDQ列出方程可求得的值

3)由題意可知:點E可能在△ABC內(nèi)部,也可能在△ABC外部,還可能在AB邊上,先取點EAB邊上這一特殊情況討論得到一個的值再去討論另兩種情況;當(dāng)點EAB上時,利用折疊的性質(zhì)和PQAB易證PB=PE=PC=,再由PC+PB=可解得,此時對應(yīng)的T=然后再分點E在△ABC內(nèi)部和外部進行討論可得符合要求的的取值范圍.

試題解析:

1Rt△ABC中,AB=15,BC=9,

AC=

,

∵∠C=∠C,
∴△PQC∽△BAC,
∴∠CPQ=∠B,
∴PQ∥AB.
2連接AD∵PQ∥AB,
∴∠ADQ=∠DAB
D∠BAC的平分線上,
∴∠DAQ=∠DAB,
∴∠ADQ=∠DAQ
∴AQ=DQ
Rt△CPQ中,PQ=5x
∵PD=PC=3x,
∴DQ=2x
∵AQ=12﹣4x
∴12﹣4x=2x,解得x=2
∴CP=3x=6


3當(dāng)點EAB上時,
PQAB
∴∠DPE=PEB
∵∠CPQ=DPE,CPQ=B
∴∠B=PEB,
PB=PE=5x,
3x+5x=9,解得x=
當(dāng)0x<時,點E在△ABC的內(nèi)部,T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x,此時0T<;
當(dāng)x3時,點E在△ABC的外部,設(shè)PEAB于點GDEABF,作GHFQ,垂足為H,
HG=DFFG=DH,RtPHGRtPDE
,
PG=PB=93x,
,
GH= (93x),PH= (93x),
FG=DH=3x (93x)
T=PG+PD+DF+FG=(93x)+3x+ (93x)+[3x (93x)]=,
此時, T18
當(dāng)0x3時,Tx的增大而增大,
T=12時,即12x=12,解得x=1
T=16時,即=16,解得x=
12≤T≤16,
x的取值范圍是1≤x≤

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