【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點D△ABC內(nèi)一點,且BD=AD.

(1)求證:CD⊥AB;

(2)∠CAD=15°,EAD延長線上的一點,且CE=CA.

求證:DE平分∠BDC;

若點MDE上,且DC=DM,請判斷ME、BD的數(shù)量關系,并給出證明;

N為直線AE上一點,且△CEN為等腰三角形,直接寫出∠CNE的度數(shù).

【答案】(1)詳見解析;(2)①詳見解析;②:ME=BD,證明詳見解析;③∠CNE的度數(shù)為7.5°、15°、82.5°、150°.

【解析】

(1)根據(jù)中垂線的判定定理與一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上可得出結論.

(2)①由∠CAD=15°,BD=AD與直角等腰三角形的性質(zhì)可知,∠DBA=DAB=30°,則可得∠BDE=30°+30°=60°,又根據(jù)SSS可證ADC≌△BDC,則∠ACD=BCD=45°,可知∠CDE=ACD+CAD=45°+15°=60°,故DE平分∠BDC.

②連接MC,由DC=DM,CDE=60°,可知MCD為等邊三角形,∠ECM=CMD-CAD=45°則根據(jù)SAS可證BDC≌△EMC,得出結論ME=BD.

③根據(jù)題意可知,分類:當EN=EC時;當EN=CN時;當CE=CN時三種情況求出∠CNE的度數(shù).

(1)證明:∵CB=CA,DB=DA,

CD垂直平分線段AB

CDAB,

故答案為:CDAB.

(2)①證明:∵AC=BC

∴∠CBA=CAB,

又∵∠ACB=90°,

∴∠CBA=CAB=45°,

又∵在ADCBDC中,

,

∴△ADC≌△BDCSSS

∴∠CAD=CBD=15°,

∴∠DBA=DAB=30°,

∴∠BDE=30°+30°=60°,

∵∠ACB=90°,ACD=BCD,

∴∠ACD=BCD=45°,

∴∠CDE=ACD+CAD=45°+15°=60°,

∵∠CDE=BDE=60°,

DE平分∠BDC;

故答案為:DE平分∠BDC.

②結論:ME=BD

理由:連接MC,

DC=DM,CDE=60°,

∴△MCD為等邊三角形,

CM=CD,CMD=60°,

又∵EC=CACAD=15°,

∴∠ECM=CMD-CAD=45°,

BDCEMC中,

∴△BDC≌△EMCSAS,

ME=BD

故答案為:ME=BD.

③當EN=EC時,∠ENC=7.5°82.5°;

EN=CN時,∠ENC=150°;

CE=CN時,∠CNE=15°,

故答案為:∠CNE的度數(shù)為7.5°、15°、82.5°、150°.

練習冊系列答案
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(2)當t=_______時,APC的面積等于ABC面積的一半.

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(1)設通道的寬度為x米,則a=(用含x的代數(shù)式表示);
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