【題目】如圖,在正方形ABCD中,邊長為4,∠MDN90°,將∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),其中DM邊分別與射線BA、直線AC交于E、Q兩點(diǎn),DN邊與射線BC交于點(diǎn)F;連接EF,且EF與直線AC交于點(diǎn)P

1)如圖1,點(diǎn)E在線段AB上時(shí),①求證:AECF;②求證:DP垂直平分EF

2)當(dāng)AE1時(shí),求PQ的長.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)①只要證明ADE≌△CDEASA)即可解決問題;

②利用相似三角形的性質(zhì)證明∠PDQ=45°即可解決問題;

(2)作QHADHQEABG.由AQD∽△EQP,可知AQPQDQEQ,想辦法求出AQ,EQDQ即可解決問題;

(1)①證明:∵四邊形ABCD是正方形,

DADC,ADCDAEDCF=90°,

∴∠ADCMDN=90°,

∴∠ADECDF,

∴△ADE≌△CDEASA),

AECF

②∵△ADE≌△CDEASA),

DEDF,∵∠MDN=90°,

∴∠DEF=45°,

∵∠DAC=45°,

∴∠DAQPEQ,∵∠AQDEQP

∴△AQD∽△EQP,

,

,

∵∠AQEPQD,

∴△AQE∽△DQP

∴∠DDPQAE=45°,

∴∠DPE=90°,

DPEF,

DEDF,

PEPF

DP垂直平分線段EF

(2)解:作QHADH,QEABG

RtADE中,DE,

∵∠QAHQAG=45°,

HOQEAHEQ,設(shè)QHx

×4×x+×1×x×1×4,

x,

AQDQ,EQ

∵△AQD∽△EQP,

AQPQDQEQ,

PQ

練習(xí)冊系列答案
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A. B. C. D.

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A. B. C. D.

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A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 0個(gè),或1個(gè),或2個(gè)

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