【題目】四邊形 OABC 在圖 1 中的直角坐標(biāo)系中,且OC在 y 軸上,OA∥BC,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(18,0),B(12,8),動(dòng)點(diǎn) P、Q分別從 O、B兩點(diǎn)出發(fā),點(diǎn) P以每秒2個(gè)單位的速度沿 OA 向終點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng),點(diǎn) Q 以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向 C運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn) P停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn) Q 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).動(dòng)點(diǎn) P、Q 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(單位:秒).
(1)當(dāng) t 為何值時(shí),四邊形 PABQ 是平行四邊形,請(qǐng)寫出推理過(guò)程;
(2)如圖 2,線段 OB、PQ 相交于點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) D 作 DE∥OA,交 AB 于點(diǎn) E,射線 QE 交 x 軸于點(diǎn) F,PF=AO.當(dāng) t 為何值時(shí),△PQF 是等腰三角形?請(qǐng)寫出推理過(guò)程;
(3)如圖 3,過(guò) B 作 BG⊥OA 于點(diǎn) G,過(guò)點(diǎn) A 作 AT⊥x 軸于點(diǎn) A,延長(zhǎng) CB 交 AT于點(diǎn) T.將點(diǎn) G 折疊,折痕交邊 AG、BG 于點(diǎn) M、N,使得點(diǎn) G 折疊后落在AT 邊上的點(diǎn)為 G′,求 AG′的最大值和最小值.
【答案】(1)當(dāng) t 為 6 時(shí),四邊形 PABQ 是平行四邊形;(2)當(dāng) t=1 或 t=時(shí),△PQF 是等腰三角形;(3)AG′的最大值與最小值分別是 6,8﹣2.
【解析】
(1)由梯形的性質(zhì)得出當(dāng) PA=BQ 時(shí),四邊形 PABQ 是平行四邊形,BQ=t,
OP=2t,得出方程,解方程即可;
過(guò) Q作 QH⊥OF 于 H,①當(dāng) FP=FQ 時(shí),求出 CQ=OH=12﹣t,PH=12﹣3t, 得出 FH=3t+6,由勾股定理得出方程,解方程即可;
②當(dāng) PF=PQ 時(shí),PQ=P F=18,在 Rt△PQH 中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
③當(dāng) PQ=FQ 時(shí),PH=FH,得出方程 12﹣3t=6+3t,解方程即可;
當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 時(shí),AG=AG′=6,此時(shí) AG′為最大值;當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn) B,另一點(diǎn)在 AG 上時(shí) AG′最小,此時(shí),BG=BG′=8,在 Rt△BG′T 中,由勾股定理求出TG′,得出 即可.
(1)∵OA∥BC,
∴PA∥BQ,
當(dāng) PA=BQ 時(shí),四邊形 PABQ 是平行四邊形,BQ=t,OP=2t,
∵A(18,0),
∴PA=18﹣2t,
∴t=18﹣2t, 解得:t=6,
∴當(dāng) t 為 6 時(shí),四邊形 PABQ 是平行四邊形;
(2)過(guò) Q 作 QH⊥OF 于 H,如圖 1 所示:
分三種情況:
①當(dāng) FP=FQ 時(shí),
∵PF=AO=18,
∴FQ=18,BQ=t,
∴CQ=OH=12﹣t,
∴PH=12﹣3t,
∴FH=3t+6,
在 Rt△QHF 中,由勾股定理得:QH2+FH2=FQ2,
∴82+(3t+6)2=182,
解得:t1=,t2=(不合題意舍去);
②當(dāng) PF=PQ 時(shí),PQ=PF=18,
在 Rt△PQH 中,由勾股定理得:PQ2=PH2+QH2,
∴(12﹣3t)2+82=182,
解得:t1=(不合題意舍去),t2=(不合題意舍去);
③當(dāng) PQ=FQ 時(shí),PH=FH,
∴12﹣3t=6+3t, 解得:t=1;
綜上所述,當(dāng) t=1 或 t=時(shí),△PQF 是等腰三角形;
(3)當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 時(shí),如圖 2 所示:
AG=AG′=6,此時(shí) AG′為最大值;
當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn) B,另一點(diǎn)在 AG 上時(shí) AG′最小,如圖 3 所示:
此時(shí),BG=BG′=8,
∵BT=6,
∴在 Rt△BG′T 中,
∴
綜上所述:AG′的最大值與最小值分別是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象交于點(diǎn)A(3,1),且過(guò)點(diǎn)B(0,﹣2).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如果點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn),且△ABP的面積是3,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知⊙O 的直徑為 4,AB 是⊙O 的弦,∠AOB=120°,點(diǎn) P 在⊙O 上,若點(diǎn) P到直線 AB 的距離為 1,則∠PAB 的度數(shù)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O,且已知∠ADC=120°;請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺作出一個(gè)30°的圓周角.要求:
(1)保留作圖痕跡,寫出作法,寫明答案;
(2)證明你的作法的正確性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將長(zhǎng)方形紙片 ABCD 沿過(guò)點(diǎn) B 的直線折疊,使點(diǎn) A 落在 BC 邊上的點(diǎn) F 處, 折痕為 BE(如圖③);再沿過(guò)點(diǎn) E 的直線折疊,使點(diǎn) D 落在 BE 上的點(diǎn)處 D′,折痕為 EG(如圖④);再展平紙片(如圖⑤),則圖⑤中∠α=________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 如圖,平行四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,∠ADB=20°,∠ACB=50°,過(guò)點(diǎn)O的直線交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A向點(diǎn)D移動(dòng)過(guò)程中(點(diǎn)E與點(diǎn)A、點(diǎn)D不重合),四邊形AFCE的形狀變化依次是( )
A.平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形
B.平行四邊形→矩形→平行四邊形→正方形→平行四邊形
C.平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形
D.平行四邊形→矩形→菱形→正方形→平行四邊形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,對(duì)角線BD所在的直線上有兩點(diǎn)E、F滿足BE=DF,連接AE、AF、CE、CF,如圖所示.
(1)求證:△ABE≌△ADF;
(2)試判斷四邊形AECF的形狀,并說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,在ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分別為E,F(xiàn).
(1)求證:△ADE≌△CBF;
(2)求證:四邊形BFDE為矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,D是等邊△ABC的AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)A、B重合),以CD為一邊向上作等邊△EDC,連接AE.
(1)無(wú)論D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置,圖中總有一對(duì)全等的三角形,請(qǐng)找出這一對(duì)三角形,并證明你得出的結(jié)論;
(2)D點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,直線AE與BC始終保持怎樣的位置關(guān)系?并說(shuō)明理由.
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