Question

【題目】綜合與探究：如圖，二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0）和點(diǎn)E（-2，-3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．點(diǎn)D是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE，交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)P．

（1）求出拋物線和直線BE的解析式；

（2）當(dāng)△DCF≌△BOC時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①請(qǐng)寫(xiě)出線段PD的長(zhǎng)度為（用含m的式子表示）；

②當(dāng)m為何值時(shí)，線段PD有最大值，并寫(xiě)出其最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1），y=x-2；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（，）；（3）①；②當(dāng)m=1時(shí)，PD有最大值為．

【解析】

（1）設(shè)直線BE的解析式為y=kx+t，把B、E坐標(biāo)分別代入和y=kx+t，求出b、c、k、t的值即可得答案；

（2）根據(jù)BE解析式可得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理可求出BC的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C上方時(shí)，由全等三角形得性質(zhì)可得OC=CD，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OB，垂足為H，可得DH//OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，可求出OH的長(zhǎng)，代入BE解析式求出y值即可得點(diǎn)D坐標(biāo)；同理可求出當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C下方時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）①過(guò)點(diǎn)P作PQ//FC，交BE于Q，根據(jù)拋物線及BE解析式可用m表示出P、Q坐標(biāo)，即可表示出PQ得長(zhǎng)，根據(jù)平行線得性質(zhì)可得∠OCB=∠PQD，可得∠PQD得正弦值，利用∠PQD的正弦即可表示出PD的長(zhǎng)；

②根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得答案．

（1）把B（4，0），E（-2，-3）代入拋物線的解析式得：，

解得b=，c=2．

∴拋物線的解析式為，

設(shè)直線BE的解析式為y=kx+t，

∵B（4，0），E（-2，-3），

∴，

解得k=，b=-2．

∴直線BE的解析式為y=x-2．

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=x-2=-2．

∴C的坐標(biāo)是（0，-2）

如圖，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C上方時(shí)，

∵△DCF≌△OCB，

∴CD=OC=2．

∴BC=，

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OB，垂足為H．

∴DH//OC，

∴．

∴．

∴OH=．

把x=代入y=x-2得，y=．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．

如圖，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C下方時(shí)，

∵△DCF≌△OCB，

∴CD=OC=2．

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OF，垂足為H．

∴DH//OC，

∴．

∴．

∴DH=

把x=代入y=x-2得，y=．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．

（3）①如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ//FC，交BE于Q，

∴∠OCB=∠PQD，

∵sin∠PQD=sin∠OCB==，

∵點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，

∴P（m，），Q（m，），

∴PQ=-（）=，

∴PD=PQ·sin∠PQD=（）=．

②∵PD==（m-1）2+，

∴當(dāng)m=1時(shí)，PD有最大值．