Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點C，B的坐標(biāo)分別為（-4，0），（0，2）．四邊形ABCO是平行四邊形，拋物線過A，B，C三點，與x軸交于另一點D．一動點P以每秒1個單位長度的速度從B點出發(fā)沿BA向點A運動，運動到點A停止，同時一動點Q從點D出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿DC向點C運動，與點P同時停止．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸與AB交于點E，與x軸交于點F，當(dāng)點P運動時間t為何值時，四邊形POQE是等腰梯形？
（3）當(dāng)t為何值時，以P，B，O為頂點的三角形與以點Q，B，O為頂點的三角形相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件先求出A的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）由（1）的解析式求出對稱軸和D的坐標(biāo)，由條件證明△EOB≌△QEF，得出BP=FQ，建立關(guān)于t的等式，即可求出t值．
（3）由條件可以從△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ進行計算，然后再從P、Q兩點在y軸的同側(cè)和異側(cè)分別建立等量關(guān)系求出結(jié)論．
解答：解：（1）∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點B，∴c=2．
由題意，有，
解得
∴所求拋物線的解析式為；

（2）將拋物線的解析式配方，得．
∴拋物線的對稱軸為x=2．
當(dāng)y=0時，x₁=-4，x₂=8
∴D（8，0），E（2，2），F(xiàn)（2，0）．
欲使四邊形POQE為等腰梯形，則有OP=QE，BO=EF．
∴△POB≌△QEF
∴BP=FQ．
∴t=6-3t，即t=．

（3）欲使以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ，
∴或，
即PB=OQ或OB²=PB•QO．
①若P、Q在y軸的同側(cè)．
當(dāng)PB=OQ時，t=8-3t，
∴t=2．
當(dāng)OB²=PB•QO時，t（8-3t）=4，即3t²-8t+4=0．
解得．
②若P、Q在y軸的異側(cè)．
當(dāng)PB=OQ時，3t-8=t，
∴t=4．
當(dāng)OB²=PB•QO時，t（3t-8）=4，即3t²-8t-4=0．
解得．
∵0＜t≤4，
∴t=舍去，
∴t=．
∴當(dāng)t=2或t=或t=4或t=秒時，以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)的運用，相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的運用及數(shù)學(xué)分類思想的運用．