Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+4與y＝kx+4分別交x軸于點(diǎn)A、B，兩直線交于y軸上同一點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣，0)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，連接OE交CD于點(diǎn)F．

（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（2）若∠OCB＝∠ACD，求k的值；

（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)F作x軸的垂線1，點(diǎn)M是直線BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)N是x軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的動點(diǎn)，使得以B，P，M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）F(﹣1，1)；（2）﹣2；（3）P的坐標(biāo)為(﹣1，)或(﹣1，)或(﹣1，﹣6)

【解析】

（1）求出直線OE，直線CD的解析式，構(gòu)建方程組即可解決問題．

（2）如圖2中，將線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DT，作直線CT交x軸于B．證明∠ACO＝∠DCB＝45°，即可推出∠ACD＝∠OCB，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．

（3）如圖3中，分三種情形：當(dāng)四邊形BN1P1M1是菱形時(shí)，當(dāng)四邊形BN2P2M2是菱形時(shí)，當(dāng)四邊形BP3N3M3是菱形時(shí)，分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵直線y＝x+4交x軸于A，交y軸于C，

∴A（﹣4，0），C（0，4），

∵AE＝EC，

∵E（﹣2，2），

∴直線OE的解析式為y＝﹣x，

∵

∴直線CD的解析式為y＝3x+4，

由，解得

∴F（﹣1，1）．

（2）如圖2中，將線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DT，作直線CT交x軸于B．

∵DC＝DT，∠CDT＝90°，

∴∠DCT＝45°，

∵OA＝OC，∠AOC＝90°，

∴∠ACO＝∠DCT＝45°，

∴∠ACD＝∠OCB，

∵

把代入y＝kx+4，得到k＝﹣2．

（3）如圖3中，

當(dāng)四邊形BN1P1M1是菱形時(shí)，連接BP1交OC于K，作KH⊥BC于H．

∵∠KBO＝∠KBH，KO⊥OB，KH⊥BC，

∴KO＝KH，

∵BK＝BK，∠KOB＝∠KHB＝90°，

∴Rt△KBO≌Rt△KBH（HL），

∴BO＝BH＝2，設(shè)OK＝KH＝x，

∵

∴

在Rt△CHK中，CK2＝KH2+CH2，

∴

∴

∴直線BK的解析式為

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，

∴

當(dāng)四邊形BN2P2M2是菱形時(shí)，可得直線BP2的解析式為

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，

∴

當(dāng)四邊形BP3N3M3是菱形時(shí)，M3在直線x＝﹣1時(shí)

∴M3（﹣1，6），

∵P3與M3關(guān)于x軸對稱，

∴P3（﹣1，﹣6）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或（﹣1，﹣6）．