【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣(2a﹣1)x﹣lnx(a為常數(shù),a≠0). (Ⅰ)當(dāng)a<0時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值;
(Ⅱ)記函數(shù)f(x)圖象為曲線C,設(shè)點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2)是曲線C上不同的兩點(diǎn),點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),過點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N.判斷曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB?并說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)f′(x)= , 當(dāng)a<0時(shí),由f′(x)=0,得x1=﹣ ,x2=1,又x∈[1,2],則有如下分類:
①當(dāng)﹣ ≥2,即﹣ ≤a<0時(shí),f(x)在[1,2]上是增函數(shù),
所以f(x)max=f(2)=2﹣ln2.
②當(dāng)1<﹣ <2,即﹣ <a<﹣ 時(shí),f(x)在[1,﹣ )上是增函數(shù),在(﹣ ,2]上是減函數(shù),
所以f(x)max=f(﹣ )=1﹣ +ln(﹣2a).
③當(dāng)﹣ ≤1,即a≤﹣ 時(shí),f(x)在[1,2]上是減函數(shù),
所以f(x)max=f(1)=1﹣a.
綜上,函數(shù)f(x)在[1,2]上的最大值為:
f(x)max= ;
(Ⅱ)設(shè)M(x0 , y0),則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x0= ,
直線AB的斜率k1= = [a(x12﹣x22)+(1﹣2a)(x1﹣x2)+lnx2﹣lnx1]
=a(x1+x2)+(1﹣2a)+ ,
C在點(diǎn)N處的切線斜率
k2=f′(x0)=a(x1+x2)+(1﹣2a)﹣ ,
假設(shè)曲線C在點(diǎn)N處的切線平行于直線AB,則k1=k2 ,
即 =﹣ ,所以ln = ,
不妨設(shè)x1<x2 , ln =t>1,則lnt= ,
令g(t)=lnt﹣ ,(t>1),g′(t)= >0,
所以g(t)在(1,+∞)上是增函數(shù),又g(1)=0,
所以g(t)>0,即lnt= 不成立,
所以曲線C在點(diǎn)N處的切線不平行于直線AB.
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,從而求出f(x)的最大值即可;(Ⅱ)設(shè)出M的坐標(biāo),分別求出直線AB的斜率k1 , C在點(diǎn)N處的切線斜率k2 , 由k1=k2 , 得到即 =﹣ ,得出矛盾.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2 , 且x1<x2 , 若x1+2x0=3x2 , 函數(shù)g(x)=f(x)﹣f(x0),則g(x)( )
A.恰有一個(gè)零點(diǎn)
B.恰有兩個(gè)零點(diǎn)
C.恰有三個(gè)零點(diǎn)
D.至多兩個(gè)零點(diǎn)
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【題目】(Ⅰ)如果關(guān)于x的不等式|x+3|+|x﹣2|<a的解集不是空集,求參數(shù)a的取值范圍; (Ⅱ)已知正實(shí)數(shù)a,b,且h=min{a, },求證:0<h≤ .
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【題目】在直角坐標(biāo)系xoy中,已知點(diǎn)P(0, ),曲線C的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρ= . (Ⅰ)判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系并說明理由;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,求 + 的值.
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【題目】小強(qiáng)很喜歡操作探究問題,他把一條邊長為8cm的線段AB放在直角坐標(biāo)系中,使點(diǎn)A在y軸的正半軸上,點(diǎn)B在x軸的正半軸上,點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行操作探究:當(dāng)點(diǎn)B從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正方向移動(dòng),同時(shí)頂點(diǎn)A隨之從y正半軸上一點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)O為止.小強(qiáng)發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)正確的結(jié)論:
(1)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離始終是一個(gè)常數(shù),則這個(gè)常數(shù)是_____cm;
(2)在B點(diǎn)移動(dòng)的過程中,點(diǎn)P也隨之移動(dòng),則點(diǎn)P移動(dòng)的總路徑長為_____cm.
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【題目】定義:若兩個(gè)橢圓的離心率相等,則稱兩個(gè)橢圓是“相似”的. 如圖,橢圓C1與橢圓C2是相似的兩個(gè)橢圓,并且相交于上下兩個(gè)頂點(diǎn).橢圓C1: 的長軸長是4,橢圓C2: 短軸長是1,點(diǎn)F1 , F2分別是橢圓C1的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn),
(Ⅰ)求橢圓C1 , C2的方程;
(Ⅱ)過F1的直線交橢圓C2于點(diǎn)M,N,求△F2MN面積的最大值.
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【題目】穿越青海境內(nèi)的蘭新高鐵極大地改善了沿線人民的經(jīng)濟(jì)文化生活,該鐵路沿線甲,乙兩城市相距480km,乘坐高鐵列車比乘坐普通快車能提前4h到達(dá),已知高鐵列車的平均行駛速度比普通列車快160km/h,設(shè)普通列車的平均行駛速度為xkm/h,依題意,下面所列方程正確的是( )
A. ﹣ =4
B. =4
C. =4
D. =4
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=4,P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含B,C兩點(diǎn)),將△ABP沿直線AP翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,在CD上有一點(diǎn)M,使得將△CMP沿直線MP翻折后,點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處,直線PE交CD于點(diǎn)N,連接MA,NA.
(1)發(fā)現(xiàn):
△CMP和△BPA是否相似,若相似給出證明,若不相似說明理由;
(2)思考:
線段AM是否存在最小值?若存在求出這個(gè)最小值,若不存在,說明理由;
(3)探究:
當(dāng)△ABP≌△ADN時(shí),求BP的值是多少?
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