Question

（2013•樂山）如圖，已知拋物線C經(jīng)過原點(diǎn)，對(duì)稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)N，且tan∠MON=3．
（1）求拋物線C的解析式；
（2）將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C′，拋物線C′與x軸的另一交點(diǎn)為A，B為拋物線C′上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)．
①若P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，PD⊥y軸于點(diǎn)D，求△APD面積的最大值；
②過線段OA上的兩點(diǎn)E，F(xiàn)分別作x軸的垂線，交折線O-B-A于點(diǎn)E₁，F(xiàn)₁，再分別以線段EE₁，F(xiàn)F₁為邊作如圖2所示的等邊△EE₁E₂，等邊△FF₁F₂．點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△EE₁E₂與△FF₁F₂的某一邊在同一直線上時(shí)，求時(shí)間t的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)tan∠MON=3求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線C的解析式；
（2）①先求出△APD的面積關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，再應(yīng)用配方法寫成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值；
②分0＜t≤2，2＜t≤4和4＜t＜6三種情況討論，每種情況又分EE₁與FF₁在同一直線上，EE₂與F₁F₂在同一直線上和E₁E₂與FF₂在同一直線上三種情況討論．

解答：解：（1）∵對(duì)稱軸MN的解析式為x=-3，∴ON=3，
∵tan∠MON=3，∴MN=9，
∴M（-3，-9），
∴設(shè)拋物線C的解析式為y=a（x+3）²-9，
∵拋物線C經(jīng)過原點(diǎn)，∴0=a（0+3）²-9，解得a=1，
∴拋物線C的解析式為y=（x+3）²-9，即y=x²+6x；

（2）①∵將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C′，
∴拋物線C與拋物線C′關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴拋物線C′的解析式為y=-x²+6x，
∵當(dāng)y=0時(shí)，x=0或6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），
∵點(diǎn)B在拋物線C′上，且其橫坐標(biāo)為2，
∴y=-2²+6×2=8，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，8）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則

6k+b=0 2k+b=8

，
解得

k=-2 b=12

．
∴直線AB的解析式為y=-2x+12，
∵點(diǎn)P在線段AB上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，-2p+12），
∴S_△APD=

1

2

p（-2p+12）=-p²+6p=-（p-3）²+9，
∴當(dāng)p=3時(shí)，△APD面積的最大值為9；
②如圖，分別過點(diǎn)E₂、F₂作x軸的垂線，垂足分別為G、H．
根據(jù)（2）①知，直線OB解析式為y=4x，直線AB解析式為y=-2x+12．
當(dāng)0＜t≤2時(shí)，E₁在OB上，F(xiàn)₁在AB上，
OE=t，EE₁=4t，EG=2

3

t，OG=t+2

3

t，GE₂=2t，
OF=6-t，F(xiàn)F₁=2t，HF=

3

t，OH=6-t-

3

t，HF₂=t，
∴E（t，0），E₁（t，4t），E₂（t+2

3

t，2t），
F（6-t，0），F(xiàn)₁（6-t，2t），F(xiàn)₂（6-t-

3

t，t）．
（Ⅰ）若EE₁與FF₁在同一直線上，由t=6-t，得t=3，不符合0＜t≤2；
（Ⅱ）若EE₂與F₁F₂在同一直線上，易求得直線EE₂的解析式為y=

3

3

x-

3

3

t，
將F₁（6-t，2t）代入，得2t=

3

3

×（6-t）-

3

3

t，
解得t=

3( 3 -1)

2

；
（Ⅲ）若E₁E₂與FF₂在同一直線上，易求得E₁E₂的解析式為y=-

3

3

x+4t+

3

3

t，
將F（6-t，0）代入，得0=-

3

3

×（6-t）+4t+

3

3

t，
解得t=

6 3 -3

11

；
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，E₁，F(xiàn)₁都在AB上，
OE=t，EE₁=12-2t，EG=6

3

-

3

t，OG=6

3

-

3

t+t，GE₂=6-t，
OF=6-t，F(xiàn)F₁=2t，HF=

3

t，OH=6-t-

3

t，HF₂=t，
∴E（t，0），E₁（t，12-2t），E₂（6

3

-

3

t+t，6-t），
F（6-t，0），F(xiàn)₁（6-t，2t），F(xiàn)₂（6-t-

3

t，t）．
（Ⅰ）若EE₁與FF₁在同一直線上，由t=6-t，得t=3；
（Ⅱ）若EE₂與F₁F₂在同一直線上，易求得直線EE₂的解析式為y=

3

3

x-

3

3

t，
將F₁（6-t，2t）代入，得2t=

3

3

×（6-t）-

3

3

t，
解得t=

3( 3 -1)

2

，不符合2＜t≤4；
（Ⅲ）E₁E₂與FF₂已在0＜t≤2時(shí)同一直線上，故當(dāng)2＜t≤4時(shí)，E₁E₂與FF₂不可能在同一直線上；
當(dāng)4＜t＜6時(shí)，由上面討論的結(jié)果，△EE₁E₂與△FF₁F₂的某一邊不可能在同一直線上．
綜上所述，當(dāng)△EE₁E₂有一邊與△FF₁F₂的某一邊在同一直線上時(shí)，t的值為

3( 3 -1)

2

或

6 3 -3

11

或3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到旋轉(zhuǎn)與平移的性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)的定義，二次函數(shù)的最值，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積求法等知識(shí)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．