Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是軸上位于點(diǎn)右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為___________；

（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作交線段于點(diǎn)，連接，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，_____________.（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理可以求出AO的長(zhǎng)，則可得出A的坐標(biāo)；

（2）分三種情況討論等腰三角形的情況，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)，點(diǎn)在直線上，得到，利用點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，可證，可得，，

設(shè)，則有，根據(jù)勾股定理，有：

解之即可．

解：（1）∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，且，

∴是直角三角形，根據(jù)勾股定理有：

，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）∵是等腰三角形，

當(dāng)時(shí)，如圖一所示：

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；

當(dāng)時(shí)，如圖二所示：

∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；

當(dāng)時(shí)，如圖三所示：

設(shè)，則有

∴根據(jù)勾股定理有：

即：

解之得：

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；

（3）當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)不存在；

當(dāng)是銳角三角形時(shí)，如圖四示：

連接，

∵，點(diǎn)在直線上，

∴和是直角三角形，

∴，

∵點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，

根據(jù)對(duì)稱性，有，

∴，

∴

則有：

∴是等腰三角形，則有，

∴，

設(shè)，則有，

根據(jù)勾股定理，有：

即：

解之得：