Question

【題目】已知：如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，直線(xiàn)AC與過(guò)B點(diǎn)的切線(xiàn)相交于D，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，直線(xiàn)CE交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F．

(1)求證：CF是⊙O的切線(xiàn)；

(2)若ED=3，EF=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）6.

【解析】

（1）連CB、OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得∠ABD=90°，根據(jù)圓周角定理由AB是直徑得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得CE=BE，于是得到∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得CF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）CE=BE=DE=3，于是得到CF=CE+EF=4，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）證明：連接，，

∵為⊙O的切線(xiàn)，是⊙O的直徑，

∴，.

∴.

∴.

∵為的中點(diǎn)，

∴.

∴.

又∵

∴.

∴.

∴是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：∵，

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴∽

∴，

∴，

∴，即⊙O的半徑為6