Question

【題目】二次函數(shù)的頂點(diǎn)M是直線和直線y＝x＋m的交點(diǎn)．

(1)若直線y＝x＋m過點(diǎn)D(0，－3)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)的解析式；

(2)試證明無論m取任何值，二次函數(shù)的圖象與直線y＝x＋m總有兩個不同的交點(diǎn)；

(3)在(1)的條件下，若二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，與x的右交點(diǎn)為A，試在直線上求異于M的點(diǎn)P，使P在△CMA的外接圓上．

Answer 1

【答案】(1) M(2，－1)，；(2)證明見解析；(3)．

【解析】

（1）根據(jù)題意求出m，解方程組求出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出p、q，得到二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)、點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出CM，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△CMA是直角三角形，根據(jù)三角形的外接圓的性質(zhì)計算．

(1)把D(0，－3)坐標(biāo)代入直線中，

得，從而得直線，

由M為直線與直線的交點(diǎn)，

得，

解得，，

∴得M點(diǎn)坐標(biāo)為M(2，－1)，

∵M為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，

∴其對稱軸為，

由對稱軸公式：，

得，

∴；

由，

，

解得，．

∴二次函數(shù)的解析式為：；

(2)∵M是直線和的交點(diǎn)，

∴，

解得，，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴，

解得，，

由，

得，

，

∴二次函數(shù)的圖象與直線總有兩個不同的交點(diǎn)；

(3)由(1)知，二次函數(shù)的解析式為：，

當(dāng)時，y＝3．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0，3)，

令y＝0，即，

解得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為A(3，0)，

由勾股定理，得．

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為M(2，－1)，

過點(diǎn)作x軸的垂線，垂足的坐標(biāo)應(yīng)為(2，0)，

由勾股定理得，，

過點(diǎn)作y軸的垂線，垂足的坐標(biāo)應(yīng)為(0，－1)，

由勾股定理，得．

∵，

∴△CMA是直角三角形，

CM為斜邊，．

直線與△CMA的外接圓的一個交點(diǎn)為M，另一個交點(diǎn)為P，

則．即△CPM為Rt△，

設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，則P(，)．過點(diǎn)P作x軸垂線，

過點(diǎn)作y軸垂線，兩條垂線交于點(diǎn)E，則E(x，－1)．

過P作軸于點(diǎn)F，則F(0，)．

在中，

.

在中，

．

在中，，

得，

化簡整理得，

解得．

當(dāng)時，y＝－1，即為M點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，

∴．