【題目】如圖,四邊形是正方形,點(diǎn)為對角線的中點(diǎn).
(1)問題解決:如圖①,連接,分別取,的中點(diǎn),,連接,則與的數(shù)量關(guān)系是_____,位置關(guān)系是____;
(2)問題探究:如圖②,是將圖①中的繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形,連接,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),連接,.判斷的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)拓展延伸:如圖③,是將圖①中的繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形,連接,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),連接,.若正方形的邊長為1,求的面積.
【答案】(1),;(2)的形狀是等腰直角三角形,理由見解析;(3)
【解析】
(1)根據(jù)題意可得PQ為△BOC的中位線,再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解;
(2)連接并延長交于點(diǎn),根據(jù)題意證出,為等腰直角三角形,也為等腰直角三角形,由且可得是等腰直角三角形;
(3)延長交邊于點(diǎn),連接,.證出四邊形是矩形,為等腰直角三角形,,再證出為等腰直角三角形,根據(jù)圖形的性質(zhì)和勾股定理求出O′A,O′B和BQ的長度,即可計(jì)算出的面積.
解:(1)∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為,的中點(diǎn),
∴PQ為△BOC的中位線,
∵四邊形是正方形,
∴AC⊥BO,
∴,;
故答案為:,;
(2)的形狀是等腰直角三角形.理由如下:
連接并延長交于點(diǎn),
由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)可得,∠,
是等腰直角三角形,,.
∴,.
又∵點(diǎn)是的中點(diǎn),∴.
∴.
∴,.
∴,∴.
∴為等腰直角三角形.
∴,.
∴也為等腰直角三角形.
又∵點(diǎn)為的中點(diǎn),
∴,且.
∴的形狀是等腰直角三角形.
(3)延長交邊于點(diǎn),連接,.
∵四邊形是正方形,是對角線,
∴.
由旋轉(zhuǎn)得,四邊形是矩形,
∴,.
∴為等腰直角三角形.
∵點(diǎn)是的中點(diǎn),
∴,,.
∴.
∴,.
∴.
∴.
∴為等腰直角三角形.
∵是的中點(diǎn),
∴,.
∵,
∴,,
∴.
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某玩具店進(jìn)了一排黑白塑料球,共5箱,每箱的規(guī)格、數(shù)量都相同,其中每箱中裝有黑白兩種顏色的塑料球共3000個,為了估計(jì)每箱中兩種顏色球的個數(shù),隨機(jī)抽查了一箱,將箱子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色,再把它放回箱子中,多次重復(fù)上述過程后,發(fā)現(xiàn)摸到黑球的概率在0.8附近波動,則此可以估計(jì)這批塑料球中黑球的總個數(shù),請將黑球總個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示約為________個.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師舉了下面的例題:
例1 等腰三角形中,,求的度數(shù).(答案:)
例2 等腰三角形中,,求的度數(shù).(答案:或或)
張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式,小敏編了如下一題:
變式 等腰三角形中,,求的度數(shù).
(1)請你解答以上的變式題.
(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),的度數(shù)不同,得到的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形中,設(shè),當(dāng)有三個不同的度數(shù)時,請你探索的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交,其中一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2.
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)將一次函數(shù)的圖象向下平移2個單位,求平移后的圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)直接寫出一個一次函數(shù),使其過點(diǎn),且與反比例函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某區(qū)統(tǒng)計(jì)了有扶貧任務(wù)的人員一個月下鄉(xiāng)扶貧的天數(shù)(為整數(shù)),并制成了如下尚不完整的表格與條形統(tǒng)計(jì)圖(如圖).
(1)有扶貧任務(wù)的人員的總?cè)藬?shù)是__________,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)上級部門隨機(jī)抽查1名扶貧人員,檢查其工作情況,求抽查到的扶貧人員的扶貧天數(shù)大于7天的概率;
(3)若統(tǒng)計(jì)時漏掉1名扶貧人員,現(xiàn)將他的下鄉(xiāng)天數(shù)和原統(tǒng)計(jì)的下鄉(xiāng)天數(shù)合并成一組新數(shù)據(jù)后,發(fā)現(xiàn)平均數(shù)增大了,則漏掉的這名扶貧人員下鄉(xiāng)的天數(shù)最少是多少天.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,,,…,,都是一邊在軸上的等邊三角形,點(diǎn),,,…,都在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn),,,…,,都在軸上,則的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線交軸于,兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),且,點(diǎn)是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn).
(1)求此拋物線的表達(dá)式;
(2)若,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)連接,求面積的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線:與軸的交點(diǎn)分別為、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)).
(1)當(dāng)的頂點(diǎn)在上時,求的值;
(2)若、兩點(diǎn)中有一點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,試判斷這個點(diǎn)是點(diǎn)還是點(diǎn);
(3)若的頂點(diǎn)為,對稱軸與的交點(diǎn)為,且點(diǎn)在點(diǎn)的下方,當(dāng)為何值時,線段的長最大.
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