Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，P為AD上一點(diǎn)，連接BP，CP，過C作CE⊥BP于點(diǎn)E，連接ED交PC于點(diǎn)F．

（1）求證：△ABP∽△ECB；
（2）若點(diǎn)E恰好為BP的中點(diǎn)，且AB=3，AP=k（0＜k＜3）．
①求 的值（用含k的代數(shù)式表示）；
②若M、N分別為PC，EC上的任意兩點(diǎn)，連接NF，NM，當(dāng)k= 時(shí)，求NF+NM的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在矩形ABCD中，

∵∠A=∠ABC=90°，

∵CE⊥BP，

∴∠CEB=90°，

∴∠A=∠CEB，

∴∠APB+∠ABP=∠ABP+∠PBC=90°，

∴∠APB=∠PBC，

∴△ABP∽△ECB

（2）

解：①∵△ABP∽△ECB，

∴ ，

∵BP= ，E為BP的中點(diǎn)，

∴BE= ，

∴BC= ，

過P作PH⊥PD交DE于H，

∴PD=BC﹣AP= ，

∵∠BEC=∠ADC=90°，

∴P，E．C，D四點(diǎn)共圓，

∴∠PDH=∠PCE=∠BCE=∠ABP，

∴△APB∽△PHD，

∴ ，

∴PH= ，

∴ = ；

②當(dāng)k= 時(shí)， = ，

過F作FG⊥BC于G交CE于N，反向延長(zhǎng)交AD于H，

則FH⊥AD，過N作NM⊥PC于M，

∴NF+NM的最小值即為FG的長(zhǎng)，

∴ ，

∴FG= ，

即NF+NM的最小值是 ．

【解析】（1）根據(jù)矩形的想知道的∠A=∠ABC=90°，由余角的性質(zhì)得到∠APB=∠PBC，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，得到BP= ，過P作PH⊥PD交DE于H，推出P，E．C，D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠PDH=∠PCE=∠BCE=∠ABP，根據(jù)相似三角形的想知道的 ，即可得到結(jié)論；②把k= 代入 = ，過F作FG⊥BC于G交CE于N，反向延長(zhǎng)交AD于H，則FH⊥AD，過N作NM⊥PC于M，根據(jù)線段公理得到NF+NM的最小值即為FG的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．