Question

（1）已知實(shí)數(shù)x、y滿足（x²+y²）（x²-1+y²）=12，則x²+y²的值為

4

．
（2）已知方程x²-5x+2=0的一根為a，那么a+

2

a

的值為

5

．
（3）已知關(guān)于x的方程x²-

2k+4

x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，化簡|-k-2|+

k2-4k+4

=

4

．
（4）已知一直角三角形的三邊為a、b、c，∠B=90°，那么關(guān)于x的方程a（x²-1）-2cx+b（x²+1）=0的根的情況為

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

．
（5）如果關(guān)于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么方程mx²-（m+2）x+（4-m）=0的根的情況是

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

．

Answer 1

分析：（1）把（x²+y²）看成一個(gè)整體，然后利用因式分解法解方程；
（2）把x=a代入已知方程，再在方程的兩邊同時(shí)除以a，然后來求代數(shù)式的值；
（3）由根的判別式求得k的取值范圍，然后去絕對值和化簡二次根式；
（4）根據(jù)直角三角形的勾股定理求得關(guān)于x的方程a（x²-1）-2cx+b（x²+1）=0的根的判別式的符號；
（5）需要分類討論：①由關(guān)于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則它為一元一次方程，所以m-2=0，即m=2；把m=2代入方程mx²-（m+2）x+（4-m）=0得2x²-4x+2=0，并且可計(jì)算出△=0，由此可判斷根的情況；
②當(dāng)m-2≠0時(shí)，根據(jù)關(guān)于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m=0的根的判別式求得m的值；然后再來判定方程mx²-（m+2）x+（4-m）=0的根的情況．

解答：解：（1）∵（x²+y²）（x²-1+y²）=12，
∴（x²+y²）²-（x²+y²）-12=0，
即（x²+y²-4）（x²+y²+3）=0，
∴x²+y²=4；
故填：4；

（2）∵方程x²-5x+2=0的一根為a，
∴a²-5a+2=0，
∴a+

2

a

-5=0，
即a+

2

a

=5；
故填：5；

（3）∵關(guān)于x的方程x²-

2k+4

x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
∴△=（-

2k+4

）²-4×1×k=2k+4-4k=-2k+4＞0，
∴k＜2，
∴原式=k+2+2-k=4；

（4）∵一直角三角形的三邊為a、b、c，∠B=90°，
∴a²+c²=b²，
∵a（x²-1）-2cx+b（x²+1）=0，
即（a+b）x²-2cx+b-a）=0，
∴△=（-2c）²-4×（a+b）（a-b）=4（c²-a²-b²）=0，
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
故填：方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（4）①當(dāng)m-2=0，即m=2時(shí)，方程mx²-（m+2）x+（4-m）=0變?yōu)椋?x²-4x+2=0，
△=4²-4×2×2=0，
所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)m-2≠0時(shí)，關(guān)于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m=0的根的判別式為：
△₁=4（m-1）²-4（m-2）m=4＞0，
關(guān)于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m=0有2個(gè)不相等是實(shí)數(shù)根，
與已知矛盾．
故填：方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：本題考查了根的判別式、勾股定理、一元二次方程的解定義等知識點(diǎn)．
總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．