Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），連接PD，過點(diǎn)P作PE⊥PD交射線BC于點(diǎn)E．

（1）如圖1，求證：PD＝PE；

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，，求CE長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

（1）如圖1中，連接PB，利用△APB≌△APD推出PB=PD，再證明PB=PE即可解決問題．

（2）可通過構(gòu)建等腰直角三角形來求解．過點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，那么△AGP和△PFC都是等腰直角三角形，四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，可得AG=BF=PG=1．而PB=PE，PF⊥BE，那么根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)可得出BF=FE=AG=PG，從而CE=BC-2AG=4-2=2．

1）如圖1中，連接PB．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°

在△APB和△APD中，

，

∴△APB≌△APD，

∴PB=PD，∠ADP=∠ABP，

∴∠PBC=∠PDC，

∵∠DPE=∠BCD=90°，

∴∠PEC+∠PDC=180°，∠PEB+∠PEC=180°，

∴∠PEB=∠PDC，

∴∠PBC=∠PEB，

∴PB=PE，

∴PD=PE．

（2）過點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．如圖所示．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．

又∵AP=，AD=4，

∴GP=AG=BF=1，GD=FC=FP=41=3，

又∵PB=PE，PF⊥BE

∴BF=FE，

∴CE=4-2=2.