【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,點E在CB的延長線上,連接AC,AE,∠ACB=∠BAE=45°

(1)求證:AE是⊙O的切線;
(2)若 AB=AD,AC=2 ,tan∠ADC=3,求CD的長.

【答案】
(1)

證明:

連接OA、OB,如圖1所示:

∵∠ACB=45°,

∴∠AOB=2∠ACB=90°,

∵OA=OB,

∴∠OAB=∠OBA=45°,

∵∠BAE=45°,

∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,

∴AE⊥OA,

∴AE是⊙O的切線


(2)

解:

作AF⊥CD于F,如圖2所示:

∵AB=AD,

,

∴∠ACB=∠ACD=45°,

∵AF⊥CD,

∴∠AFC=∠AFD=90°,

∵AC=2 ,

∴在Rt△AFC中,AF=CF=ACsin∠ACF=2 × =2,

∵在Rt△AFD中,tan∠ADC= =3,

∴DF= ,

∴CD=CF+DF=2+ =


【解析】(1)連接OA、OB,由圓周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠OAB=∠OBA=45°,求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出結(jié)論;(2)作AF⊥CD于F,證出 ,由圓周角定理得出∠ACB=∠ACD=45°,由三角函數(shù)求出AF=CF=ACsin∠ACF=2,DF= ,即可得出CD的長.
【考點精析】認真審題,首先需要了解切線的判定定理(切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線).

練習冊系列答案
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【題目】如圖,在△ABC中,點D , E分別在AB , AC上,DEBC , AD=CE . 若ABAC=3:2,BC=10,則DE的長為( 。
A.3
B.4
C.5
D.6

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【題目】已知一元二次方程x2-x-3=0的較小根為x1 , 則下面對x1的估計正確的是( 。
A.-2< x1<-1
B.-3< x1<-2
C.2< x1<3
D.-1< x1<0

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【題目】列方程或方程組解應用題:
為祝賀北京成功獲得2022年冬奧會主辦權,某工藝品廠準備生產(chǎn)紀念北京申辦冬奧會成功的“紀念章”和“冬奧印”.生產(chǎn)一枚“紀念章”需要用甲種原料4盒,乙種原料3盒;生產(chǎn)一枚“冬奧印”需要用甲種原料5 盒,乙種原料10 盒.該廠購進甲、乙兩種原料分別為20000盒和30000盒,如果將所購進原料正好全部都用完,那么能生產(chǎn)“紀念章”和“冬奧印”各多少枚?

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【題目】在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(1,0),P是第一象限內(nèi)任意一點,連接PO,PA,若∠POA=m°,∠PAO=n°,則我們把(m°,n°)叫做點P 的“雙角坐標”.例如,點(1,1)的“雙角坐標”為(45°,90°).
(1)點( , )的“雙角坐標”為
(2)若點P到x軸的距離為 ,則m+n的最小值為

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【題目】在平面直角坐標系 xOy中,對于點P(x,y),以及兩個無公共點的圖形W1和W2 , 若在圖形W1和W2上分別存在點M (x1 , y1 )和N (x2 , y2 ),使得P是線段MN的中點,則稱點M 和N被點P“關聯(lián)”,并稱點P為圖形W1和W2的一個“中位點”,此時P,M,N三個點的坐標滿足x= ,y=
(1)已知點A(0,1),B(4,1),C(3,﹣1),D(3,﹣2),連接AB,CD.
①對于線段AB和線段CD,若點A和C被點P“關聯(lián)”,則點P的坐標為;
②線段AB和線段CD的一“中位點”是Q (2,﹣ ),求這兩條線段上被點Q“關聯(lián)”的兩個點的坐標;
(2)如圖1,已知點R(﹣2,0)和拋物線W1:y=x2﹣2x,對于拋物線W1上的每一個點M,在拋物線W2上都存在點N,使得點N和M 被點R“關聯(lián)”,請在圖1 中畫出符合條件的拋物線W2;
(3)正方形EFGH的頂點分別是E(﹣4,1),F(xiàn)(﹣4,﹣1),G(﹣2,﹣1),H(﹣2,1),⊙T的圓心為T(3,0),半徑為1.請在圖2中畫出由正方形EFGH和⊙T的所有“中位點”組成的圖形(若涉及平面中某個區(qū)域時可以用陰影表示),并直接寫出該圖形的面積.

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【題目】解不等式 ≥1,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

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【題目】研究幾何圖形,我們往往先給出這類圖形的定義,再研究它的性質(zhì)和判定方法.我們給出如下定義:如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD像這樣兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”;

(1)小文認為菱形是特殊的“箏形”,你認為他的判斷正確嗎?
(2)小文根據(jù)學習幾何圖形的經(jīng)驗,通過觀察、實驗、歸納、類比、猜想、證明等方法,對AB≠BC的“箏形”的性質(zhì)和判定方法進行了探究.下面是小文探究的過程,請補充完成:
①他首先發(fā)現(xiàn)了這類“箏形”有一組對角相等,并進行了證明,請你完成小文的證明過程.
已知:如圖,在”箏形”ABCD中,AB=AD,CB=CD.
求證:∠ABC=∠ADC.
證明:②小文由①得到了這類“箏形”角的性質(zhì),他進一步探究發(fā)現(xiàn)這類“箏形”還具有其它性質(zhì),請再寫出這類“箏形”的一條性質(zhì)(除“箏形”的定義外);
③繼性質(zhì)探究后,小文探究了這類“箏形”的判定方法,寫出這類“箏形”的一條判定方法(除“箏形”的定義外):

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【題目】下表給出了代數(shù)式x2+bx+c與x的一些對應值:

x

0

1

2

3

4

x2+bx+c

3

﹣1

3


(1)請在表內(nèi)的空格中填入適當?shù)臄?shù);
(2)設y=x2+bx+c,則當x取何值時,y>0;
(3)請說明經(jīng)過怎樣平移函數(shù)y=x2+bx+c的圖象得到函數(shù)y=x2的圖象?

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