Question

【題目】在正方形ABCD中，AB＝6，M為對角線BD上任意一點（不與B、D重合），連接CM，過點M作MN⊥CM，交AB（或AB的延長線）于點N，連接CN．

感知：如圖①，當M為BD的中點時，易證CM＝MN．（不用證明）

探究：如圖②，點M為對角線BD上任一點（不與B、D重合）．請?zhí)骄?/span>MN與CM的數(shù)量關系，并證明你的結論．

應用：（1）直接寫出△MNC的面積S的取值范圍　 　；

（2）若DM：DB＝3：5，則AN與BN的數(shù)量關系是　 　．

Answer 1

【答案】探究：見解析;應用：（1）9≤S＜18;（2）AN＝6BN．

【解析】

探究：如圖①中，過M分別作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，證明△MFN≌△MEC（ASA）即可解決問題．
應用：（1）求出△MNC面積的最大值以及最小值即可解決問題．
（2）利用平行線分線段成比例定理求出AN，BN即可解決問題．

解：探究：如圖①中，過M分別作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，

則四邊形BEMF是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，

∴ME＝BE，

∴平行四邊形BEMF是正方形，

∴ME＝MF，

∵CM⊥MN，

∴∠CMN＝90°，

∵∠FME＝90°，

∴∠CME＝∠FMN，

∴△MFN≌△MEC（ASA），

∴MN＝MC；

應用：（1）當點M與D重合時，△CNM的面積最大，最大值為18，

當DM＝BM時，△CNM的面積最小，最小值為9，

綜上所述，9≤S＜18．

（2）如圖②中，

由（1）得FM∥AD，EM∥CD，

∴＝＝＝，

∵AN＝BC＝6，

∴AF＝3.6，CE＝3.6，

∵△MFN≌△MEC，

∴FN＝EC＝3.6，

∴AN＝7.2，BN＝7.2﹣6＝1.2，

∴AN＝6BN，

故答案為AN＝6BN．