Question

【題目】如圖，CE是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，過點D作⊙O的切線，交CE延長線于點A，連接DE，過點O作OB∥ED，交AD的延長線于點B，連接BC．

（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）若AE=2，tan∠DEO= ，求AO的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵DE∥BO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OE，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△DOB與△COB中，

，

∴△DOB≌△COB，

∴∠OCB=∠ODB，

∵BD切⊙O于點D，

∴∠ODB=90°，

∴∠OCB=90°，

∴AC⊥BC，

∴直線BC是⊙O的切線

（2）解：∵∠DEO=∠2，

∴tan∠DEO=tan∠2= ，

設(shè)OC=r，BC= r，

由（1）證得△DOB≌△COB，

∴BD=BC= r，

由切割線定理得：AD2=AEAC=2（2+r），

∴AD=2 ，

∵DE∥BO，

∴ ，

∴ ，

∴r=1，

∴AO=3．

【解析】（1）要證明直線BC是⊙O的切線，連接OD，根據(jù)已知先證明∠1=∠2，再證明△DOB≌△COB，得出∠OCB=∠ODB，然后根據(jù)切線的性質(zhì)證明∠OCB=90°，即可證得結(jié)論。
（2）利用tan∠DEO= ，得出 tan∠2= ，由△DOB≌△COB得出BD=BC，再根據(jù)切割線定理，證得AD2=AEAC，可表示出AD的長，再由DE∥BO，得對應(yīng)線段成比例，求出r的長，即可求出AO的長。
【考點精析】利用平行線分線段成比例和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．