Question

已知直線y=

1

2

x+

k

2

-3和y=-

1

3

x+

4k

3

+

1

3

的交點(diǎn)在第四象限內(nèi)．
（1）求k的取值范圍．
（2）若k為非負(fù)整數(shù)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），在直線y=

1

2

x+

k

2

-3上是否存在一點(diǎn)P，使△PAO是以O(shè)A為底的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立兩直線解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求k的取值范圍；
（2）存在．根據(jù)若k為非負(fù)整數(shù)及k的取值范圍，確定k的值，作線段OA的垂直平分線與直線y=

1

2

x+

k

2

-3相交，求交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）聯(lián)立

y= 1 2 x+ k 2 -3 y=- 1 3 x+ 4k 3 + 1 3

，解得

x=k+4 y=k-1

，
∵兩直線交點(diǎn)在第四象限，
∴

x=k+4＞0 y=k-1＜0

，解得-4＜k＜1；

（2）存在．
∵k為非負(fù)整數(shù)且-4＜k＜1，
∴k=0，直線y=

1

2

x+

k

2

-3解析式化為y=

1

2

x-3，
而線段OA的垂直平分線為x=1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=

1

2

x-3=-2

1

2

，
∴P（1，-2

1

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，等腰三角形的判斷及兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法．關(guān)鍵是列方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)所在的象限確定k的取值范圍．